Salut,

Ba tu va pas! :p

Coloriage en damier noir et blanc de la forme à construire et on trouve 14 cubes noir et 12 cubes blanc (ou le contraire). Une bûchette se plaçant nécessairement sur 2 cubes de couleurs différentes c'est impossible.

On peut prouver que ce n'est pas possible. Si je colorie de 2 couleurs differentes (rouge et bleu par exemple) les petits dé qui constituent le grand cube de telle maniere que les buchettes qui le composerais soient toujours conposées d'un bleu et d'un rouge... alors on colorie a la maniere d'un echequier en 3 dimensions. Si les coins sont bleus, le centre du cube est rouge. si on retire le centre, on aurait 14 bleus et 12 rouges. Or chaque buchette doit avoir un bleu et un rouge. Pour que se soit possible Il nous faudrait 13 rouges et 13 bleus.

Bon courage.
Ça m'étonnerait que tu y arrives !

Si tu colories les cubes comme aux échecs, tu dois employer 14 cubes blancs et 12 noirs.
Tes buchettes ne peuvent être constituées que d'un cube blanc et d'un noir.
Avec tes buchettes, tu ne peux faire que le même nombre de noirs et de blancs.

Gwen : oui . Question bonus : et si le cube fait 5X5X5 ?

Ca ne change pas grand chose, mais il faut raisonner un peu autrement.

Je fais ça par couches successives en coloriant mon cube comme un échiquier.

La face de dessus, j'ai 13 cases blanches pour 12 noires
La tranche en dessous, il y a donc une case noire de prise  (ou 2 noires et une blanche....) Enfin bon ça fait une noire de moins.

idem pour les deux étages suivants du coup.

Si bien qu'à la dernière face j'ai 11 noires pour 13 blanches. Ca ne peut pas coller.  (ou 10 pour 12 , 9 pour 11 .... suivant les options de remplissage vertical.

En fait, il y a même plus simple :

Sur un cube de dimension impaire, il y a toujours 2 cases noires en plus des blanche, du fait des damiers supérieurs et inférieurs.

Oui Nodgim et je te propose le même bonus qu'à Gwen ( qui a bien répondu ) : avec un dé 5X5X5 ?

Vasimolo

Amusante ta démo looozer

Vasimolo

C'est une nouvelle version du problème des sept ponts de Königsberg ?

Il n'y a aucune solution .
Supposons que l'on décrive l'arrangement en passant par une chaîne continue d'une buchette à l'autre qui la touche.
Chaque cube au milieu d'une face devrait être une extrémité de la chaîne : il manque donc 4 extrémités !

Associons une couleur à chacun des 27 "petits cubes" du grand cube.
Je commence par un des coins de la face supérieure en noir et la couleur est alternée de cube en cube.
Ainsi pour la face supérieure, j'ai 5 cubes noirs (les coins et le centre) et 4 blancs (les milieux des côtés).
La face inférieure est identique et la face intermédiaire a elle 4 noirs et 5 blancs.
Sur cette face, le petit cube central est blanc.
Comme celui-ci est enlevé, le cube complet est formé de 14 cubes noirs et 12 cubes blancs.

Comme chaque buchette est composée d'un cube noir et d'un cube blanc, il est impossible de recomposer ce cube privé de son élément central.
On pourrait y arriver pour un cube privé d'un élément de coin ou d'un centre de face.

Pour le 5x5x5 privé de son élément central, il n'y a pas de difficulté à le construire avec des buchettes.
On construit la tranche centrale comme ceci:

--|--
--|--
-- --
--|--
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Les 2 tranches du haut peuvent se construire de façon identique avec une buchette qui descend par le trou central et idem pour les 2 faces du bas.

Merci pour ce petit rafraichissement de mémoire

Supposons, pour faire plus joli, qu'on veuille constituer le dé creux à l'aide de 26 petits cubes de deux couleurs différentes pour le faire ressembler vu de loin à un petit damier (ou un petit échiquier, selon les goûts), donc de telle manière que deux petits cubes adjacents ne soient jamais de la même couleur.

Si on prend par exemple des petits cubes blancs et noirs et si on commence par mettre un cube noir pour un des coins du dé, on va se retrouver avec tous les cubes "coins" en noir, ainsi que tous les cubes centraux des faces. Les cubes restants seront blancs.

Et là, si on compte les cubes, on se retrouve avec 14 cubes noirs et 12 cubes blancs.

Comme on est parti du principe que notre dé n'avait pas deux petits cubes adjacents de même couleur, chaque buchette étant un ensemble de deux cubes adjacents, elle sera constituée d'un cube noir et d'un cube blanc.

Hum... on commence à sentir le problème, parce que vu comme ça, on pourra s'y prendre de toutes la manières qu'on veut, avec nos 13 buchettes bicolores, on va se retrouver à la fin avec autant de cubes blancs que noirs, et on ne pourra jamais obtenir 14 cubes noirs et 12 cubes blancs.

Il est donc impossible de placer les buchettes pour réaliser le dé creux !

Complément à mon post #14 ci-dessus: généralisation du problème
Je m'aperçois que l'exercice est impossible à réaliser pour tout dé n x n x n tel que n = 4k - 1. En effet, si je colorie mes cubes d'angle en noir (et tous les autres cubes alternativement en noir et blanc, comme un damier 3D), j'aurai, y compris le cube central, (n³+1)/2 cubes noirs et (n³-1)/2 cubes blancs. Si je veux "deséquilibrer" le nombre de cubes, il faut que le cube central soit blanc (et surtout pas noir), ce qui donne n = 4k - 1. A l'inverse, si n est pair ou si n = 4k - 3, alors l'exercice est réalisable.

@Vasimolo: Je ne suis pas d'accord: le même raisonnement ne s'applique pas à tout dé de côté impair, mais certains seulement (voir mon post #21 d'hier). Voici l'exemple du dé 5x5x5 qu'on pourrait réaliser avec 62 bûchettes comme suit:
     Tranche 1    /     Tranche 2    /     Tranche 3    /     Tranche 4    /     Tranche 5
01 02 03 04 05 / 01 02 03 04 05 / 26 27 28 29 30 / 38 39 40 41 42 / 38 39 40 41 42
06 07 08 09 10 / 06 07 08 09 10 / 26 27 28 29 30 / 43 44 45 46 47 / 43 44 45 46 47
11 12 13 14 15 / 11 12 13 14 15 / 31 31 xx 32 32 / 48 49 50 51 52 / 48 49 50 51 52
16 17 18 19 20 / 16 17 18 19 20 / 33 34 35 36 37 / 53 54 55 56 57 / 53 54 55 56 57
21 22 23 24 25 / 21 22 23 24 25 / 33 34 35 36 37 / 58 59 60 61 62 / 58 59 60 61 62

Effectivement. Là, c'est une vraie preuve, mais on peut facilement invalider l'argument des bûchettes bicolores pour tout cube de dimensions 4n+1, cas dans lequel on a un nombre pair de "tranches" de chaque côté de la "tranche" centrale (on peut alors les rassembler par paires, une tranche aux coins noirs avec son "négatif"), et une tranche centrale qu'on peut décomposer en un + central (lequel a 2n cubes sur chacune de ses quatre branches) et quatre carrés de côté 2n. Donc, même nombre de noirs que de blancs, quoi qu'il arrive.

L'argument bicolore s'applique uniquement à un cube de dimensions 4n+3.



Addendum : ...sauf, viens-je de tilter, si on ne garde à chaque fois que l'enveloppe extérieure (on enlève le cube de côté k-2 au centre du cube de côté k), auquel cas l'argument est totalement valide.

Pas évident de généraliser proprement en partant seulement du plus petit exemple



PS : arf, grillé par Gwen