non il faut faire un calcul d'esperance
j'ai jamais ete tres bon en probas mais d'apres mes calcul on tombe sur une espérance de 0.435.

j'ai jamais ete tres bon en probas

la preuve je me suis lamentablement plante dans le calcul de l'esperance

un rapide dénombrement montre que :

le nombre de tirages total est 6 x 6 x 6 = 216

le nombre de tirages sans 1 est 5 x 5 x 5 = 125
le nombre de tirages avec exactement 1 1 est 3 x 5 x 5 = 75
le nombre de tirages avec 2 1 est 3 x 5 = 15
le nombre de tirages avec 3 1 est 1.

On a donc 125 / 216 chance de perdre (57,9%), mais surtout, l'espérance de gain est de -0,078 € pour 1 € misé : à la fin de la journée, quand 1000 joueurs auront parié 1 €, le forain aura gagné 78 €.

Cette "reproduction des probas" est un raisonnement archi-faux ; il suffit, dans un premier temps, de se dire qu'en lançant six fois le même dé, cela nous forcerait à obtenir une fois chaque chiffre... ce qui n'est pas du tout le cas. Il est même relativement improbable d'y parvenir (la proba est de 5/324 soit 1,54 %). On surestime donc clairement la proba de sortie d'un chiffre sur plusieurs lancers...

Dans un second temps, on peut faire le raisonnement complet (proba, niveau début de première année de prépa MPSI, grosso modo) :

Proba que le chiffre voulu sorte sur un dé et un seul (donc proba de gagner sa mise):
[TeX]3 \times \frac{1}{6} \times \left( \frac{5}{6} \right) ^2= \frac{75}{216}[/TeX]
(Cela équivaut à environ 35% de chances, ce qui est loin des 50% que nous envisagions naïvement.)

Proba que le chiffre voulu sorte sur au moins deux dés (on gagne deux fois la mise) :
[TeX]3 \times \left( \frac{1}{6} \right)^2 \times \frac{5}{6}= \frac{15}{216}[/TeX]
(Dans la première proba, le "x3" est dû aux diverses possibilités de position des dés : en supposant qu'on a les dés dans un certain ordre, grosso modo le premier, le deuxième et le troisième, le dé qui affiche le chiffre que l'on veut peut être le premier, le deuxième, ou le troisième, ce qui nous fait trois fois plus de cas favorables. Dans la deuxième proba, un peu pareil : trois positions possibles pour le dé qui ne porte pas le chiffre attendu.)

Proba que le chiffre soit sur les trois dés (on gagne trois fois la mise):
[TeX]\left( \frac{1}{6} \right)^3= \frac{1}{216}[/TeX]
Il nous reste 125 chances sur 216 de perdre sa mise.

Espérance de gain :

[latex]1 \times \frac{75}{216} + 2 \times \frac{15}{216} + 3 \times \frac{1}{216} - 1 \times \frac{125}{216} = - \frac{17}{216}[/latex]

L'espérance de gain est négative : le joueur est donc statistiquement perdant (mais vu que lui ne jouera pas forcément des milliers de fois, alors que le forain fera jouer plusieurs milliers de personnes, c'est surtout le forain qui est content, car statistiquement, il tendra à gagner un peu moins de 8 centimes par partie, soit 78,70 euros par millier de pigeons joueurs )

Il faut calculer l'événement contraire : 
1 - (5/6)^n
Soit environ 42% de chance d'avoir au moins un bon lancé sur les 3.

Je me lance, 

P(au moins sur un de)=1-P(sur aucun des trois des)=1-(5/6)^3 < 1/2

Bonjour

Si on considère que les 3 dés sont discernables , il y a :

Nombre de possibilités : 6 X 6 X 6 = 216
Possibilités sans le chiffre souhaité : 5 X 5 X 5 = 125
Possibilités avec un chiffre : 3 X 5 X 5 = 75
Possibilités avec deux chiffres : 3 X 5 = 15
Possibilité avec trois chiffres : 1

L'espérance de gain [latex]E=\frac{0\time125+2\time 75 + 3\times 15 + 4\times 1}{216}=\frac{199}{216}\approx 0,921.[/latex]

En moyenne le joueur ne récupère pas la somme investie

Vasimolo

Bonjour,

> On peut déjà calculer la probabilité de "perdre", c'est à dire que les trois dés aient tous un chiffre différent de celui choisi :
Elle est de (5/6)*(5/6)*(5/6) soit 125/216
Donc supérieure à 1/2 !
Donc la partie n'est pas favorable au joueur !
La probabilité que le joueur retrouve sa mise sur chaque tirage est de
(216-125)/216 = 91/216

> Et dans le détail :

Probabilité de sortir un chiffre (une fois) :
(1/6*5/6*5/6)+(5/6*1/6*5/6)+(5/6*5/6*1/6)
soit : 75/216

Probabilité de sortir deux fois le chiffre choisi :
(1/6*1/6*5/6)+(1/6*5/6*1/6)+(5/6*1/6*1/6)
soit : 15/216

Probabilité de sortir trois fois le chiffre choisi :
une seule combinaison parmi 6*6*6
soit 1/216

On a bien 75+15+1 = 91 chances sur 216 de voir son numéro sortir au moins une fois.

Et le forain s'y retrouve bien car à chaque euro de misé, il ne redistribue en fait en moyenne que : 
(75/216)*2 + (15/216)*3 + (1/216)*4 = 199/216 euros
et en empoche 17/216 soit 7.87 % !

Faut-il penser à changer de boulot ?

Question "variante" : et si 6 joueurs misent simultanément chacun sur un chiffre différent, cela change-t'il la donne ?

Le nombre de tirage total avec les 3 dés est : T = 6 * 6 * 6 = 216

Le nombre de tirage perdant avec les 3 dés est : Tp = 5 * 5 * 5 = 125

La probabilité de perdre est donc : P(perdre) = [latex]\frac{125}{216}[/latex]

La probabilité de gagner est donc :
P(gain) = [latex]1 - \frac{125}{216}[/latex] = [latex]\frac{91}{216}[/latex]

La probabilité de gagner est donc inférieur à [latex]\frac{1}{2}[/latex]

"A première vue on a 1 chance sur 6 qu'il sorte sur 1 dé, donc 3 chances sur 6 avec 3 dés, donc 1 chance sur 2 que le chiffre sorte sur au moins 1 dé, si il sort plus d'un dé, ce n'est que du bonus. La partie est  favorable au joueur.
Mais est-ce bien vrai ?"
     Oui. Il y a 1 chance sur 6 pour qu'un dés sorte une seule fois le nombre si on lance le dés une seule fois (la preuve est qu'en lançant votre dés vous verrez un nombre sur le dessus après s'être arrêté de bouger). Or, si on a une 2e chance (un 2e essais) sur les 6 numéros du dés en lançant une 2e fois ce même dés, c'est qu'on a 2 chances sur 6 de tomber une seule fois sur le nombre 5 par exemple. Si on lance une 3e fois ce même dés, c'est qu'on a eu 3 chances sur ces 6 numéros (numéros de 1 à 6 sur le dés) de tomber une seule fois sur le nombre 5, donc en lançant le dés 3 fois. Qu'on lance 3 fois l'un après l'autre ou qu'on lance les 3 dés en même temps, c'est la même chose (car de toute façon quand on les lance en même temps, ils ne retombent pas obligatoirement en même temps par terre, c'est donc comme les lancer l'un après l'autre).
     Or, si on a une chance sur 6 en lançant un seul dés, alors comment pourrions-nous avoir moins de 2 chances sur 6 en lançant 2 dés une seule fois chacun ou en répétant une 2e fois le fait de lancer un seul dés ? Ce ne serait pas logique. Mais, si je lance le dés 6 fois de suite, j'ai donc 6 chances sur 6 de gagner (en moyenne bien évidemment), c'est-à-dire j'ai 100 % (6/6) de chance de tomber une seule fois sur le nombre 5. Ceci nous montre que 3 dés nous donnent 3 chances sur 6 de tomber sur le numéro 5 une seule fois en tout; donc 1 chance sur 2 en simplifiant. On ne doit pas faire l'erreur de multiplier nos fractions, mais on doit les additionner : 1/6+1/6+1/6=3/6 donc 1/2. Voilà!
     Il ne faut pas confondre. Avec 2 dés, on a 2 chances sur 6 d'avoir une seule fois LE NUMÉRO 5 par exemple; mais on a une chance sur 36 d'avoir DEUX FOIS le NUMÉRO 5. C'est comme d'avoir une chance sur 36 d'avoir un numéro entre 1 et 36 inclues, car 6x6=36 combinaisons différentes entre 1 et 36 pour un dés qui contiendrait 36 nombres; mais sur 1 dés qui contient 6 nombres, on a 2 chances sur 6 d'avoir une seule fois le nombre 5 si on lance le dés 2 fois de suite ou en même temps. Donc 3 chances sur 6 de tomber une seule fois sur le nombre 5 en lançant 3 dés en même temps ou successivement, donc 1 chance sur 2 en simplifiant (3/6=1/2). Il y a donc une différence entre posséder 2 dés ayant chacun les nombres de 1 à 6, et un autre dés ayant les nombres de 01 à 36 (6x6), et un autre dés ayant les nombres de 01 à 216 (6x6x6). C'est là qu'il ne faut pas faire l'erreur de logique et de calcul.

Je ne suis pas d'accord. Quand on parle de "chance", on ne parle pas de précision absolue dans les tirages, mais d'une moyenne théorique. De plus, en tirant 6 dés, il n'est pas obligatoire que les nombres 1-2-3-4-5-6 sortent au premier tirage de ces 6 dés. Il peut aussi bien y sortir 1-1-1-1-1-1 ou 3-1-1-2-6-1, etc., car en pratique l'équilibre peut aussi bien se faire seulement 100 ou 500 tirages après; on parle donc d'une moyenne théorique. Alors "oui", il faut additionner nos fractions ici.
     Il faut bien comprendre aussi qu'il y a une différence entre 2 dés qui contiennent 6 nombres chacun et qu'on lance (donc 2 chances sur 6 en tout d'avoir un 5), d'avec un dés qui contient 36 nombres (6*6) et qui n'est lancé qu'une seule fois (donc 1 chance sur 36 d'avoir un 5) : le résultat n'est pas le même et donc le calcul à faire n'est pas le même, ni la logique.
     Ainsi, avec 3 dés (de 6 nombres chacun) lancés, on a 3 chances sur 6 (en moyenne théorique) de sortir le nombre 5, donc 1 chance sur 2. Si on lance un seul dés 216 fois, la moyenne théorique du résultat serait que le nombre 5 sorte 36 fois (216/6=36). Mais si on lance les 3 dés 216 fois, la moyenne théorique du résultat serait que le nombre 5 sorte 108 fois. Ainsi, en lançant ces 3 dés 216 fois chacun, on aurait comme résultat théorique en moyenne : {"108 fois d'avoir un seul 5" (216*(1/6+1/6+1/6)) ou (216/2)}, {"6 fois d'avoir deux 5 en même temps" (216/(6*6))} et {"1 fois d'avoir trois 5 en même temps" (216/(6*6*6))}; mais toujours un total théorique d'une moyenne de 108 fois d'avoir un 5 (mais ça peut aussi bien être un autre nombre qu'un 5, tout en sachant que l'équilibre parfait peut se faire qu'après 400 coups, une autre fois qu'après 8 coups et une autre fois les 3 dés peuvent sortir trois 5 du même coup, etc.).
     Autrement dit, si je lance une pièce de monnaie, j'ai une chance sur 2 en moyenne théorique de tomber sur "face", mais je peux aussi bien sortir 3 fois "pile"s avant d'avoir une "face" en pratique; mais l'équilibre parfait entre les "pile"s et les "face"s peut aussi bien se faire qu'au bout de 10 tirages (ex. "PPPFPFFFPF") en sorte que sorte 5 fois le côté "pile" sur ces 10 tirages entre les 2 valeurs "pile" et "face".
     {...}
     Or, lancer 2 dés 6 fois chacun, c'est la même chose que lancer un seul dés 12 fois. Or, lancer un dés 12 fois, cela nous donne 2 chances sur les 6 nombres de tomber sur le 5. Car, ayant 6 nombres sur le dés, cela me donne 12 possibilités si je lance ce dés 2 fois; c'est pourquoi cela me donne "2 fois" l'opportunité d'avoir une chance sur 6, donc "1 fois" l'opportunité d'avoir 2 chances sur 6.
     Supposons qu'il y ait 2 personnes ayant chacune une balle qu'elles doivent lancer dans l'un des 6 trous devant qui sont numérotés de 1 à 6. La 1re personne lance sa balle : elle a donc eu 1 chance sur 6 que sa balle soit tombé dans le trou numéro 5. Ensuite, la 2e personne lance sa balle : elle a donc eu elle aussi 1 chance sur 6 que sa balle ait été tombé dans le trou numéro 5. Combien de trou y a-t-il ? Six en tout, seulement 6, car ce sont toujours les 6 mêmes trous. Combien de balles ont-elles été lancées ? Seulement 2 balles. Il y a donc eu en tout 2 balles qui ont été lancées pour essayer d'entrer dans le trou numéro 5. Il y a donc eu 2 chances sur les 6 trous, et non 2 chances sur 12 trous ou sur 36 trous. Qu'il y ait eu 2 personnes qui ont lancé une fois chacune ou qu'il y a eu 2 fois la même personne qui a fait ces 2 lancés, cela est équivalent. Il faut donc suivre cette logique pour éviter les erreurs.
     Quand "JohnMatrix" plus haut, écrit que le nombre total de tirage avec les 3 dés est : T = 6 * 6 * 6 = 216, cela est faux. Il faut plutôt additionner : T = 6 + 6 + 6 = 18. Et le nombre total de tirage perdant doit s'écrire : Tp = 5 + 5 + 5 = 15. On a donc ainsi 15 tirages de perdants sur 18 possibilités des 6 nombres en triple et non sur 216 possibilités, ce qui équivaux à 5 tirages de perdants sur 6 possibilités en simplifiant (15/18=5/6). En faisant l'inverse, il y a donc 3 chances sur ces 18 possibilités des 6 nombres en triple (donc 3 chances parmi les 6 numéros 1 à 6) (18 possibilités divisé par 3 dés = les 6 mêmes nombres sur chaque dés) de gagner (3/18=1/6=1 chance sur 6 pour chaque dés), donc 3 chances sur 6 nombres de gagner avec 3 dés. Voilà la logique.

ManMath a écrit:

J
     Quand "JohnMatrix" plus haut, écrit que le nombre total de tirage avec les 3 dés est : T = 6 * 6 * 6 = 216, cela est faux. Il faut plutôt additionner : T = 6 + 6 + 6 = 18. Et le nombre total de tirage perdant doit s'écrire : Tp = 5 + 5 + 5 = 15. On a donc ainsi 15 tirages de perdants sur 18 possibilités des 6 nombres et non sur 216 possibilités, ce qui équivaux à 5 tirages de perdants sur 6 possibilités en simplifiant (15/18=5/6). En faisant l'inverse, il y a donc 3 chances sur ces 18 possibilités des 6 nombres (18 possibilités divisé par 3 dés = 6 nombres) de gagner (3/18=1/6), donc 3 chances sur 6 nombres de gagner. Voilà la logique.

Non ton raisonnement est faux. Dans les faits, la probabilité que ça tombe sur 5 est bien de 1/6.

Quand tu lances ta 2eme balle, rien ne permet de supposer qu'elle a moins de chance de tomber sur 5. Ce sont des "événements indépendants" (c'est le nom qu'on leur donne en statistiques).

Le nombre de cas est de 36, les cas sont:
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
2-1
2-2
2-3
etc...
6-4
6-5
6-6

Ca fait bien 36 cas.

Après il y a le cas sans remise, c'est à dire, quand tu as 6 boules dans un sac, que tu tire le 5, quel est la probabilité de tirer un 3 sachant qu'il ne reste que 5 boules, par exemple... Mais c'est pas le cas ici.

Vous avez raison de dire qu'on a 6 possibilités pour chaque dés. Donc, en ce sens, pour 3 dés on n'a pas 216 possibilités, mais seulement 3 x 6 possibilités, donc 18 possibilités, car on répète trois fois nos 6 possibilités.

Tu peux t'arrêter là et tout revoir. Neonetien t'a montré par l'exemple pourquoi il y a 6x6=36 possibilités avec 2 dés, car 6 possibilités pour le premier et 6 pour le deuxième. C'est bien un produit qu'on fait à chaque fois, et il y a bien 216 tirages possibles de trois dés.

Pour ton exemple de pile ou face, tu vas me dire que 4=2+2 ? Ouais, mais 4=2x2 aussi. Si tu effectues trois lancers au lieu de 2, combien de possibilités ? 6 ou 8 ? Bah 8

Pour terminer, EN MOYENNE si on lance 3 dés sur 6 numéros, il y aurait 3 numéros où les dés auraient atterrie dessus.

Désolé, mais non, car la proba que deux dés tombent sur le même numéro n'est pas nulle, donc la moyenne du nombre de valeurs différentes obtenues lors du lancer de trois dés est strictement inférieure à 3.