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#1 - 26-12-2011 17:05:46
- scarta
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Encore un peuu plus compliqué, les dés
Combien de fois en moyenne faut-il lancer un dé pour obtenir 3 chiffres distincts de même parité ?
(En moyenne, donc le résultat n'est pas forcément entier)
#2 - 27-12-2011 10:10:58
- masab
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encore un peu plus cpmpliqué, les dés
En moyenne il faut lancer un dé 7,3 fois pour obtenir 3 chiffres distincts de la même parité.
#3 - 31-12-2011 11:03:42
- nodgim
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encore un peu pkus compliqué, les dés
170 tests sur EXCEL avec la fonction "ent(6*alea())+1" donnent une moyenne de 7,00......
Il semblerait donc que 7,3 soit un peu fort, mais...
#4 - 31-12-2011 18:19:57
- Franky1103
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Encore un peu plus comliqué, les dés
Bonjour,
Est-il possible de trouver la solution par une démonstration rigoureuse ?
Personnellement, je me suis perdu dans les lois des probabilités.
Bonne soirée.
Frank
#5 - 31-12-2011 18:34:17
- nodgim
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Encore un peu plus compliqué, les és
Connaissant maintenant un peu Scarta, je suis certain qu'il a une solution rigoureuse.
#6 - 01-01-2012 00:09:13
- scarta
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Encore un peu plus ccompliqué, les dés
On note les probabilités P10(n), P11(n), P20(n), P21(n), P22(n), P30(n), P31(n), P32(n).
Pij(n) est la probabilité d'avoir en n coups i nombres d'une certaine parité et j nombres de l'autre.
P10(n) = (1/6)^(n-1)
P11(n) = 1/2 * P10(n-1) + 1/3 * P11(n-1)
P20(n) = 1/3 * P10(n-1) + 1/3 * P20(n-1)
P21(n) = 2/3 * P11(n-1) + 1/2 * P20(n-1) + 1/2 * P21(n-1)
P22(n) = 1/3 * P21(n-1) + 2/3 * P22(n-1)
P30(n) = 1/6 * P20(n-1)
P31(n) = 1/6 * P21(n-1)
P32(n) = 1/3 * P22(n-1)
La probabilité d'avoir 3 nombres de même parité au n-ième coup est donc P(n) = P30(n)+P31(n)+P32(n)
En effet, tous ces événements sont disjoints. Ensuite, on identifie les différentes probabilités et on calcule E=somme n*P(n)
Au risque de décevoir nodgim, j'avais la flemme et donc je ne l'ai pas fait à la main (mais c'est faisable), j'ai juste rentré dans un tableur les différentes formules et ça m'a sorti 7.3
#7 - 01-01-2012 10:27:47
- nodgim
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encore un peu plus compmiqué, les dés
J'ai bien compris la démarche sauf le final:
E=somme des n*P(n).
#8 - 01-01-2012 12:15:27
- masab
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encore un peu plus compmiqué, les dés
J'ai calculé en utilisant les formules de scarta sum(n=1,10000,n*P(n)), en travaillant avec 200 décimales. J'ai obtenu
7.2999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999998
On peut penser que la réponse est exactement 7.3 , mais il faudrait le prouver rigoureusement...
#9 - 01-01-2012 12:41:53
- nodgim
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Encore un peu plus compliqé, les dés
D'accord je comprends mieux maintenant, on a calculé la proba pour chaque n, en allant aussi loin que possible, et ensuite on a fait une moyenne. Je croyais qu'il existait quelque chose de plus direct.....Du coup, oui c'est un peu décevant.
#10 - 01-01-2012 23:01:34
- scarta
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Encore un peu plus complliqué, les dés
nodgim a écrit:J'ai bien compris la démarche sauf le final:
E=somme des n*P(n).
C'est la définition même de l'espérance.
Bien sûr la solution du tableur n'est pas très rigoureuse. Cependant, j'avais la flemme de résoudre les équations des 8 probabilités; mais comme je le disais plus haut, c'est faisable. On trouve alors des formules pour tous les Pij(n), puis pour P(n) et on calcule le résultat exact par E=somme n*P(n).
Comme c'est assez long et bourrin de calculer ces différentes formules et surtout de calculer la somme infinie ensuite, on triche tous un peu 
Que celui qui n'a jamais essayé de voir si une suite diverge avant de le démontrer, en demandant le millionième terme à sa calculatrice, me jette la première pierre...
#11 - 02-01-2012 12:42:25
- masab
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encore un peu plus compluqué, les dés
On a [latex]P(0)=P(1)=0[/latex] et pour [latex]n\geq 2[/latex] on a
[TeX]P(n)=\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n-\frac{18}{2^n}+\frac{30}{3^n}-\frac{5}{6^{n-1}}[/TeX]
ce qui permet de calculer rigoureusement la probabilité cherchée...
Bien sûr, le plus dur est de prouver la formule !
#12 - 03-01-2012 15:08:18
- masab
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Encore un peu plus compliquéé, les dés
J'ai rédigé une solution détaillée à cette énigme.
Ma méthode est différente de celle indiquée par scarta.
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