0,1,1,5,11,37,103,317,935,2821,8431,25325,75911,227797,683263,2049917,6149495,18448741,55345711,166037645,498111911,...

Pour le 15éme nombre, c'est donc 683263.

J'ai finalement trouvé la formule, il s'agit de:
[TeX]\ u(0)=0
\ u(n) = \left\{
\begin{array}
3*u(n-1)-2^{n/2} & \quad \mbox{si $n$ est pair}\\
3*u(n-1)+2^{(n-1)/2} & \quad \mbox{si $n$ est impair}\\ \end{array} \right. \[/TeX]
Autrement dit:

0 0
1 1
2 1=3*1-2
3 5=3*1+2
4 11=3*5-4
5 37=3*11+4
6 103=3*37-8
7 317=3*103+8

Il n'y a pas de quoi ! Il ne me reste plus qu'à comprendre pourquoi ce merci...

693263 !
Chaque nombre est le triple du précédent, auquel on ajoute ou retranche alternativement les puissances de 2 :
0
3x1-2=1
3x1+2=5
3x5-4=11
3x11+4=37
3x37-8=103
3x103+8=317
3x317-16=935
3x935+16=2821
3x2821-32=8431
3x8431+32=25325
3x25325-64=75911
3x75911+64=227797
3x227797-128=683263

Peut-on exprimer les termes en fonction de n ?

EDIT
Après quelques calculs sur les suites des termes pairs et impairs, grace a la relation de récurrence ci dessus, je trouve :
$$a_{2n}=\frac{3^{2n}-2^n}7 a_{2n+1}=\frac{3^{2n+1}+2^{n+2}}7$$
Le terme qui nous intéresse est le 15ème, soit $a_{14}$

Bravo à Memento qui me fourni une formule plus simple que celle qu'il m'avait indiquée au départ (et que j'ai reproduite en indice 2).

Bravo à LOOping qui reprend la même formule que la 2ème de Memento.

Presque bravo à Rivas qui propose une 3ème formule, mais qui n'a pas bien lu l'énoncé... Le contexte sera mieux défini dans un prochain indice.

Pour ma part, je pensais à une 4ème formulation, valable à partir du 3ème terme et qui me parait tout aussi simple ...

gwen27 : ton aide date du 6-2-11 ; je serai plus explicite dans un indice à venir.

Merci pour ton post Jackv, je n'ai en effet pas vu que l'on cherchait le 15ème terme.

Je continue donc:
$$u_{11}=2*8431+3*2821=25325$$
$$u_{12}=2*25325+3*8431-32=75911$$
$$u_{13}=2*75911+3*25325=227797$$
$$u_{14}=2*227797+3*75911-64=683263$$
Le 15ème terme est donc 683263, ce qui est validé par la case réponse.

Du coup, j'en profite pour donner une formule (par récurrence) qui fusionne les rang pairs et impairs:
$$u_{n+2}=2*u_{n+1}+3*u_n-(1+(-1)^n)*2^{\dfrac{n}2-1}$$
C'est assez simple: le dernier terme à un coefficient qui vaut 0 pour les n impairs et 2 pour les n pairs, il suffit donc d'y ajouter la puissance de 2 que l'on désire derrière.

Bravo sans réserve à rivas qui en profite pour donner une 5ème formulation !
Et bravo aussi à halloduda qui trouve la réponse en contournant un peu le problème.

J'ai ajouté un nouvel indice et le 12ème terme de la suite.

Bravo aussi à Gwen

J'ai ajouté le 14ème et dernier terme.