C'est ma première énigme alors ne soyez pas trop sévère avec moi...

Je m'adresse ici à tout ceux qui ont déjà connaissance de la notion de dérivée.
Vous connaissez la formule de dérivation d'un produit : [latex](fg)' = f'g + fg'[/latex]

Si on dérive une seconde fois cette dérivée, on obtient 4 termes et on remarque que le deuxième et le troisième sont toujours égaux.

Par exemple, si on dérive la fonction ([latex]\ln x \sin x[/latex]), on obtient :
[TeX](\ln x \sin x)' = \frac{1}{x} \sin x + \ln x \cos x[/TeX]
Si on dérive cette dérivée, on trouve :
[TeX]-\frac{1}{x^2} \sin x + \frac{1}{x} \cos x + \frac{1}{x} \cos x - \ln x \sin x[/TeX]
On remarque qu'effectivement les deuxième et troisième termes sont égaux.

Pour plus de certitude, démontrons-le :
[TeX](fg)' = f'g + fg'[/TeX][TeX](f'g + fg')' = f''g + f'g' + f'g' + fg''[/TeX]
Cela me parait clair...

Mais si l'on applique cette propriété à la fonction [latex]x^7 \exp(x^2)[/latex], il vient :
[TeX](x^7 \exp(x^2))' = 7x^6 \exp(x^2) + 2x^8 \exp(x^2)[/TeX]
En dérivant une seconde fois, on obtient :
[TeX]42x^5 \exp(x^2) + 14x^7 \exp(x^2) + 16x^7 \exp(x^2) + 4x^9 \exp(x^2)[/TeX]
ce qui nous donne bien [latex]14 = 16[/latex]...

Oups.