Enigme 14 = 16 @ Prise2Tete

fred101274 · #1

C'est ma première énigme alors ne soyez pas trop sévère avec moi...

Je m'adresse ici à tout ceux qui ont déjà connaissance de la notion de dérivée.
Vous connaissez la formule de dérivation d'un produit : [latex](fg)' = f'g + fg'[/latex]

Si on dérive une seconde fois cette dérivée, on obtient 4 termes et on remarque que le deuxième et le troisième sont toujours égaux.

Par exemple, si on dérive la fonction ([latex]\ln x \sin x[/latex]), on obtient :
[TeX](\ln x \sin x)' = \frac{1}{x} \sin x + \ln x \cos x[/TeX]
Si on dérive cette dérivée, on trouve :
[TeX]-\frac{1}{x^2} \sin x + \frac{1}{x} \cos x + \frac{1}{x} \cos x - \ln x \sin x[/TeX]
On remarque qu'effectivement les deuxième et troisième termes sont égaux.

Pour plus de certitude, démontrons-le :
[TeX](fg)' = f'g + fg'[/TeX][TeX](f'g + fg')' = f''g + f'g' + f'g' + fg''[/TeX]
Cela me parait clair...

Mais si l'on applique cette propriété à la fonction [latex]x^7 \exp(x^2)[/latex], il vient :
[TeX](x^7 \exp(x^2))' = 7x^6 \exp(x^2) + 2x^8 \exp(x^2)[/TeX]
En dérivant une seconde fois, on obtient :
[TeX]42x^5 \exp(x^2) + 14x^7 \exp(x^2) + 16x^7 \exp(x^2) + 4x^9 \exp(x^2)[/TeX]
ce qui nous donne bien [latex]14 = 16[/latex]...

Oups.

scrablor · #2

Très astucieux !
La deuxième dérivation du cas particulier n'est pas celle du cas général... Il aurait fallu dériver le produit de x^7 et de 2x exp(x²) et non celui de 2x^8 et de exp(x²). Il faut bien creuser pour voir la subtilité.

franck9525 · #3

[latex]\left( exp^{x^2}\right)'' = \left( 2x exp^{x^2}\right)' = (2+4x^2)exp^{x^2}[/latex] ce qui nous donne les 2 extra qui permettent de passer de 14 à 16.

rivas · #4

Amusant.

Ce n'est pas simple à voir mais le 16x^7exp(x^2) est en fait la somme de 2 termes, un qui fait 14x^7exp(x^2) et 2x^7exp(x^2).

Dans ce cas le g est une fonction composée et sa dérivée seconde fait apparaître 2 termes.
[TeX](f.goh)''=(f'.goh + f.h'.g'oh)'=f''.goh+f'.h'.g'oh+f'.h'.g'oh+f.(h''.g'oh + h'^2.g''oh)[/TeX]
On retrouve bien les 2 facteurs égaux: [latex]f'.h'.g'oh[/latex] mais le dernier terme vaut:
[latex]f.(h''.g'oh + h'^2.g''oh)[/latex].
Dans notre cas: [latex]f(x)=x^7, g(x)=exp{x}, h(x)=x^2[/latex] et le dernier terme vaut donc:
[latex]x^7(2.exp{x^2}+4x^2.exp{x^2})[/latex]. Le second terme de ce dernier terme donne le [latex]4x^9exp{x^2}[/latex] et le premier terme de ce dernier terme: [latex]2x^7exp{x^2}[/latex] vient s'ajouter discrètement au [latex]14x^7exp{x^2}[/latex] pour donner le 16.

En somme, tout va bien, la dérivée est bien la bonne, c'est juste que le calcul groupe les termes différemment du cas (fg)'' donné en énoncé. Et bien sûr 14 ne vaut pas 16, ce qui est heureux.

Merci pour cette énigme et n'hésite pas à en poser d'autres.

MthS-MlndN · #5

Tu nous dis : (fg)'' = fg'' + f'g' + f'g' + f''g

Ici, on prend [latex]f(x) = x^7[/latex] et [latex]g(x) = e^{x^2}[/latex]

Donc [latex]f'(x) = 7 x^6[/latex] et [latex]g'(x) = 2xe^{x^2}[/latex]
[TeX]f''(x) = 42 x^5[/latex] et [latex]g'(x) = (4x^2 + 2) e^{x^2}[/TeX]
Je pense que c'est là où ta fonction nous blouse En développant, on obtient :
[TeX](fg'' + f'g' + f'g' + f''g)(x) = x^7 (4x^2 + 2) e^{x^2} + 2 \times 7 x^6 \times 2xe^{x^2} + 42 x^5 e^{x^2}[/TeX]
Soit :
[TeX](fg)''(x) = (4 x^9 + 30 x^7 + 42 x^5) e^{x^2}[/TeX]
Qui est bien le résultat que tu exposes.

En attendant, elle m'a bloqué le cerveau pendant de loooongues minutes, bien joué

dylasse · #6

il y a un bout du terme de coefficient 16 qui vient de fg'' et non de f'g', petit coquin va !

scarta · #7

Le problème vient du fait que 2x^8 est dérivé comme s'il s'agissait de f et e(x^2) comme s'il s'agissait de g'.
Si on fait (x^7)' * (2x.e(x^2)), on retrouve bien 14 et non pas 16

Plus en détail:
g(x) = e(x^2)
g' = 2x e(x^2)
g'' = 2e(x^2) + 4x^2 e(x^2)
Du coup, fg'' = 2 x^7 e(x^2) + 4x^9 e(x^2), le terme en 2x^7 a été ajouté au terme en 14x^7 pour faire apparaître le 16 au lieu de 14

aunorddunord · #8

Il ne faut pas décomposer 2x^8exp(x^2) comme étant le produit de f par g', avec f(x)=2x^8 et g'(x)=exp(x^2),
ce qui est faux si on prend au départ f(x)=x^7 et g(x)=exp(x^2),

mais en tant que produit de x^7 par 2xexp(x^2), auquel cas on obtient comme dérivée de ce produit: (x^7)' X 2xexp(x^2) + x^7 X (2xexp(x^2))',
soit : 7x^6 X 2xexp(x^2) + x^7 X [2exp(x^2) + 4x^2exp(x^2)]
soit : 14x^7exp(x^2) + 2x^7exp(x^2) + 4x^9exp(x^2)
et on retrouve bien f'g' = 14x^7exp(x^2) et fg"= 2x^7exp(x^2) + 4x^9exp(x^2)

Conclusion: les 2x^7exp(x^2) en "trop" dans le raisonnement donné dans l'énigme proviennent du dernier terme (fg") et ne font pas partie de f'g'.

Un moyen de retomber sur nos "pattes" est de redécomposer le résultat auquel l'énigme aboutit:
42x^5exp(x^2) + 14x^7exp(x^2) + 16x^7exp(x^2) + 4x^9exp(x^2)
= 42x^5exp(x^2) + 14x^7exp(x^2) + (14+2)x^7exp(x^2) + 4x^9exp(x^2)
= 42x^5exp(x^2) + 14x^7exp(x^2) + 14x^7exp(x^2) + 2x^7exp(x^2) + 4x^9exp(x^2)
= 42x^5exp(x^2) + 14x^7exp(x^2) + 14x^7exp(x^2) + (2x^7 + 4x^9)exp(x^2)

et les 2x^7 en "trop" sont revenus à leur place!

FA

toni77 · #9

[TeX]2e^{x^2}[/latex] (à multiplier ensuite par [latex]x^7[/latex]) provient de la dérivée seconde de [latex]e^{x^2}[/TeX]
Donc, [latex](f'g')(x)=14x^7e^{x^2}[/latex]

McFlambi · #10

doit y en avoir deux qui appartiennent a [latex]fg''[/latex]

Avec [latex]f=x^7[/latex] et [latex]g= e^{x^2}[/latex]

on a
[TeX]f'=7x^6[/TeX]
[TeX]f''=42 x^5[/TeX]
[TeX]g'=2x e^{x^2}[/TeX]
[TeX]g''=4x^2 e^{x^2} + 2 e^{x^2}[/TeX]
et [latex]fg''=4x^9 e^{x^2} + 2 x^7 e^{x^2}[/latex]

debutant1 · #11

la dérivée seconde de exp(x^2) est

(2+4x^2) exp(x^2)

et on retrouve bien 16=2+14

fred101274 · #12

Bravo à tous. J'en ai deux ou trois autres du même style. Si elles vous intéresse, je les partage volontiers...

MthS-MlndN · #13

Vas-y, envoie

fred101274 · #14

Ok. Aujourd'hui je m'occupe de mes enfants mais dès demain, je poste ça.

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#1 - 22-12-2010 23:13:40

14 = 1

#0 Pub

#2 - 22-12-2010 23:40:51

14 =16

#3 - 23-12-2010 00:09:49

144 = 16

#4 - 23-12-2010 00:26:13

4 = 16

#5 - 23-12-2010 00:42:12

14 = 61

#6 - 23-12-2010 09:52:10

114 = 16

#7 - 23-12-2010 10:48:34

1 4= 16

#8 - 23-12-2010 17:05:45

41 = 16

#9 - 24-12-2010 21:12:59

4 = 16

#10 - 24-12-2010 23:47:27

1 = 16

#11 - 25-12-2010 09:30:03

14 = 61

#12 - 26-12-2010 09:39:37

14 = 1

#13 - 26-12-2010 12:26:11

1 4= 16

#14 - 26-12-2010 12:50:45

14 = 1

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