Toute personne ayant déjà suivi un cours sur les nombres complexes, sait qu'ils n'ont pas été inventés pour créer des solutions aux équations du style x² = -1, mais bien pour trouver des solutions réelles à certaines équations dont les méthodes de résolution nécessitaient la manipulation de racines carrées de nombres négatifs.

Ce que l'on sait moins c'est que ces nombres complexes permettent aussi de prouver que tout nombre réel est un multiple entier de π.

Vous ne me croyez pas... alors lisez ceci.

Considérons un angle complexe a tel que tan a = i
En prenant un nombre réel quelconque r et en utilsant la formule de la tangente d'une somme, il vient :

tan (a + r) = (tan a + tan r) / (1 - tan a tan r)

            = (i + tan r) / (1 - i tan r)

            = i (1 - i tan r) / (1 - i tan r)

Et comme r est réel, 1 – i tan r ne peut être nul.

Il en résulte donc que

tan (a + r)  = i = tan a, ce qui implique que a et a + r sont égaux à un multiple entier de pi près.

Finalement, il vient
a + r = a + npi et donc

r = npi avec r un réel quelconque et n un entier tout aussi quelconque...