bonjour à tous

Plus beaucoup d'énigmes mathématiques ces temps ci ; je propose celle là :

Je dispose de 2 billes de volumes :
$$\cfrac{\pi.\sqrt3}{2}$$
et
$$4\pi.\sqrt3$$
J'ai fabriqué la plus petite boite cubique pouvant les y enfermer .
Jusque là c'est normal , étant ancien tôlier chaudronnier .

C'est à vous maintenant : je sais que je peux y ajouter des parallélépipèdes rectangles (dans cette boite ).  Quel serait le volume maximum exact d'un de ces prismes logeable avec les 2 billes ?

                                                                   bonne recherche .

n.b.  $\sqrt5 - 1$  est l'écriture d'un nombre exacte

sinon vous arrondirez à 5 décimales .