Bien sûr mais faut-il garder le point de vue originel?
C'est quand même l'identification au plan la meilleure chose, je pense.

Voici mon avis sur les nombres complexes.
On peut les voir comme des êtres algébriques, une façon de les définir est : un complexe est un couple de réels (a,b) avec les opérations suivantes (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) et (a,b).(c,d)=(ac-bd,bc+ad). On vérifie que c'est un corps et on note (1,0)=1 et (0,1)=i en convention expresse, voici les fameux a+ib. Les opérations algébriques sont les mêmes et par extension on peut définir les opérations analytiques (foctions qui s'écrivent comme des polynômes infinis autour de chaque point de définition) comme par exemple l'exponentielle.
En comparant les développements infinis on arrive à

$e^{ix}=cos(x)+isin(y)$ d'où les immortelles formules de trigonométrie: $e^{ix}e^{it}=(cos(x)+isin(y))(cos(t)+isin(t))=e^{i(x+t)}=cos(x+t)+isin(x+t)$ d'où ce que l'on voulait en indentifiant les parties réelles et imaginaires.

Et si j'ai bien compris, tu la recommandes plutôt deux fois qu'une

Enfin, tout ça c'est bien compliqué, il y a matières à plusieurs livres. Toutefois, je n'ai pas encore creusé mais il semblerait qu'un petit malin (ou un gros) a réinventé la géométrie mais sans utiliser de fonctions transcendantes (sinus, cosinus,...) et sans nombres irrationnels : ici

L'ouvrage "Quantité inconnue: une histoire réelle et imaginaire de l’algèbre" de John Derbyshire révèle que l'apparition des complexes autour du XVIeme a permis de relancer le développement de l’algèbre qui se perdait alors en complexité. A ce titre, il me semble que les complexes sont plus une invention qu'une amélioration d'outil offrant un rendement plus élevé.

Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra, John Derbyshire
ISBN: 0-309-65688-5.