C'est pas ma spécialité du tout, mais la dernière fois que j'ai entendu parler de nombres complexes, c'était dans un (très bon) reportage TV sur les fractales, où les complexes interviennent dans la modélisation de l'ensemble de Mandelbrot.
Bon, du coup, j'ai pas tout compris, mais on peut peut-être dire que sans nombres complexes, on ne peut pas bosser sur les fractales, qui eux semblent modéliser l'environnement qui nous entoure (toujours d'après ledit reportage).

Après, si je suis en train de sortir une énormité... merci de ne pas m'en tenir rigueur...

Je me souviens d'avoir un calcul en mécanique quantique où l'énergie était complexe et non réelle. J'avais rien compris

Ca ne m'a pas empêché personnellement d'être traumatisé par les impédances complexes, ou par le principe de Huygens Fresnel ... Mais c'est sans doute lié à la physique en général, parce que j'ai jamais eu de souci avec les transformées de Fourier !
J'essaie de me souvenir du jour où j'ai appris l'existence de i²=-1, mais j'y arrive pas C'est un peu la même chose que quand en primaire on nous apprend que les nombres négatifs existent !!!

Je comprend bien quand on parle d'amplitude et de phase voire de fréquence, mais les complexes n'apporte ici qu'une facilité d'écriture pour être manipulée dans les équations, non ? quand tu écris x+iy coordonnées d'un point avec abscisse et ordonnée, je n'ai pas besoin des complexes pour mettre un point dans un plan. La seule utilité de ces derniers, c'est qu'au lieu de manipuler un couple de coordonnées, je n'ai qu'un nombre. Pareil avec l'autre écriture, je n'ai pas besoin des complexes pour définir une ondes avec son amplitude et sa phase, mais encore une fois, il permet de définir les deux avec un seul nombre.

Bref, ça facilite la vie de ceux qui font des calculs, mais il n'y a pas de réelle application, mon trompé-je ? (De toute façon, c'est trop tard, j'ai déjà bu mon café ^^)

P.S : pour les racines cubiques de 1, c'est 1, j et j² !

Les complexes à quoi ils servent ?

Dans l'histoire de l'humanité, on a franchi plusieurs "monstres", aucun n'est indispensable pour faire des mathématiques, mais tous sont sacrément confortables...

Dans l'ordre (?) :
- le 0 : une quantité nulle ? ça n'a pas de sens
- les nombres négatifs ? une quantité négative ?????
- les nombres rationnels ?
- les nombres irrationnels
- les nombres complexes
- ... le reste

Rien n'est indispensable en théorie, mais je n'ose imaginer à quoi ressemblerait les mathématiques et donc la technique si on s'en tenait aux entiers naturels...

Le fait que la mécanique quantique fonctionne avec des complexes n'exclut pas qu'il soit possible de la formuler sans eux.

Bref, les complexes sont aux nombres ce que la pelleteuse est aux travaux publics : on peut tout faire avec une pelle et une pioche, mais c'est plus long

Je ne suis pas tout à fait d'accord, cependant : savait-on résoudre les équations du troisième degré avant les complexes ? Non. Ou alors en essayant toutes les racines possibles (une toute petite infinité) ?

Résumer les complexes à un accélérateur de travaux me semble faux. Ca a aussi ouvert plusieurs disciplines, permis des choses nouvelles, etc.

Quant aux racines cubiques de 1, merci de préciser que [latex]j[/latex] vaut [latex]e^{\frac{2i \pi}{3}}[/latex], sinon on ne comprend rien

Si on part sur le principe des entiers, c'est une discussion totalement métaphysique qui s'ouvre, trop souvent vulgarisée et réduite sous la forme de la fameuse question "Les mathématiques sont-elles dans la nature ?".

Un objet et un objet mis ensemble, cela fait deux objets. Simple empirisme ? Pas vraiment : c'est quoi, cette histoire de "un" et de "deux" ? Un objet, je vois ce que c'est, c'est palpable, mais "un", ça veut dire quoi ? "Qui est unique et indivisible" ? Cruelle vulgarisation : l'objet que j'ai sous les yeux n'est pas indivisible, je choisis juste de le considérer comme tel pour des raisons pratiques.

Un truc aussi banal que compter sur ses doigts serait donc une simple façon de considérer le monde à travers un filtre logique ? Pour moi, oui, même si le débat reste ouvert. Compter des objets, c'est pour moi supprimer cette savante superposition de multiplicité infinie (physique) et d'unicité fondamentale (métaphysique) qui est la nature de la Nature, pour, en quelque sorte, discrétiser le réel... clairement un outil pratique, qui permet de choisir un angle de vue particulier sous lequel on peut aborder, avec notre conscience limitée, l'infinie complexité du monde.

Cependant, je précise, d'une part que ce n'est que mon point de vue, et d'autre part que je n'ai pas construit ces phrases longues et verbeuses juste pour le plaisir d'en mettre plein la vue et de me faire reluire l'ego... Au contraire, si quelqu'un vient m'expliquer que je me fourvoie totalement, j'en serai profondément ravi. (Gasole, ceci est un appel à l'argumentation )

Je précise : pour moi, les maths en général ne sont qu'un outil. Je m'opposais juste au principe "les nombres complexes permettent juste de faire comme avant, mais plus efficacement"... Disons qu'on n'est pas sur le même plan de réflexion : dans le contexte des maths, les complexes sont pour moi plus qu'un outil ; en m'en extériorisant, en parlant depuis un point de vue distant et plus métaphysique, la science en général n'est qu'un outil.

Pas facile d'être clair sur ce genre de terrains

Quant au dernier point que tu soulèves, je veux bien quelques sources... Je suis intrigué, et très curieux.

L'ouvrage "Quantité inconnue: une histoire réelle et imaginaire de l’algèbre" de John Derbyshire révèle que l'apparition des complexes autour du XVIeme a permis de relancer le développement de l’algèbre qui se perdait alors en complexité. A ce titre, il me semble que les complexes sont plus une invention qu'une amélioration d'outil offrant un rendement plus élevé.

Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra, John Derbyshire
ISBN: 0-309-65688-5.

Enfin, tout ça c'est bien compliqué, il y a matières à plusieurs livres. Toutefois, je n'ai pas encore creusé mais il semblerait qu'un petit malin (ou un gros) a réinventé la géométrie mais sans utiliser de fonctions transcendantes (sinus, cosinus,...) et sans nombres irrationnels : ici

Et si j'ai bien compris, tu la recommandes plutôt deux fois qu'une

Voici mon avis sur les nombres complexes.
On peut les voir comme des êtres algébriques, une façon de les définir est : un complexe est un couple de réels (a,b) avec les opérations suivantes (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) et (a,b).(c,d)=(ac-bd,bc+ad). On vérifie que c'est un corps et on note (1,0)=1 et (0,1)=i en convention expresse, voici les fameux a+ib. Les opérations algébriques sont les mêmes et par extension on peut définir les opérations analytiques (foctions qui s'écrivent comme des polynômes infinis autour de chaque point de définition) comme par exemple l'exponentielle.
En comparant les développements infinis on arrive à

[latex]e^{ix}=cos(x)+isin(y)[/latex] d'où les immortelles formules de trigonométrie: [latex]e^{ix}e^{it}=(cos(x)+isin(y))(cos(t)+isin(t))=e^{i(x+t)}=cos(x+t)+isin(x+t)[/latex] d'où ce que l'on voulait en indentifiant les parties réelles et imaginaires.