Je n'ai pas du bien comprendre l'énoncé car ça me parait assez trivial :

1) on repère (en rouge) le plus petit nombre en valeur absolue.
2 ) en décalant un cache on met tous les nombres à l'état positif (vert) sauf les 10 autour du rouge.
3) on peut facilement obtenir au moins 5 + (jaune)
4) si il y a 2 - on peut les rendre + (gris)
5 ) si il reste un - :
soit le rouge était - et on change les deux en +
Soit le rouge était + et on intervertit les deux signes (mauve)

Il ne reste qu'un nombre négatif dans le cercle , le plus petit en valeur absolue.

Si on ne peut pas repasser sur un même nombre avec plusieurs caches, c'est impossible dans lae cas , par exemple où ils sont tous négatifs dès le début.

0101010011

Bah oui, il y a 5 zéros, je les change tous les 5.
1111111111

Ou alors tu parles du cache ?

OK, je ne sais pas encore ...

Avec 2 secteurs angulaires, c'est simple aussi, je prends ces deux là :

1111010000
1111100000

Si le second chiffre en gras est positif, je ne touche à rien et je décale le cache.
Si le second est négatif, j'applique les deux caches puis je décale d'un cran.

Avec un seul, c'est plus difficile et je ne trouve pas de solution.

J'ai du mal à comprendre l'énoncé qui me parait intéressant pourtant :

Vous pouvez placer votre secteur angulaire où vous voulez sur le cercle.

et :

Gwen, les secteurs te sont imposés, ce n'est pas toi qui les choisis.

OK, c'est le nom qui me posait problème !

En fait, tu nous donnes des "filtres" qui parcourent 10 nombres consécutifs des 100 nombres disponibles mais avec 1 code qui ne laissent visibles que 5 nombres parmi les 10.

On peut placer ces "filtres" où on veut sur le cercle. C'est bien ça ?

Si c'est le cas, on peut parcourir le cercle complet en déplaçant le même filtre 1 nombre après l'autre et ainsi connaître tous les nombres sur le cercle, non ?

Et question supplémentaire : lorsqu'on change le signe d'un chiffre, ce sont bien les 5 observés et non les 10 sous le filtre qui changent de signe, c'est bien ça ?

Ce problème ne suscite pas, loin s'en faut, une passion démesurée.
Je vais donner un indice qui va peut être éveiller des vocations: La réponse est courte, elle tient sur une ligne !
Indice 2: chercher une convergence, qu'on peut aussi définir comme un invariant.
C'est beaucoup plus facile qu'il n'y parait....

Qu'est ce que tu ne comprends pas Vasimolo ?

Je vois que c'est compris. La question est pourtant claire: on donne un certain nombre de secteurs, pourras tu toujours, quel que soit le nombre de secteurs qu'on te donne, et quel que soit leur code, parvenir au résultat demandé ? A savoir, avec les secteurs qu'on t'a donnés, et avec la possiblité que tu as de changer le signe des sommes des 5 nombres visibles, arriver à n'avoir que des sommes positives ou nulles, sommes obtenues avec les secteurs qu'on t'a donnés ? 
La réponse est oui. Mais pourquoi ?

C'est bien ça. La somme algébrique des cent nombres, quand on transforme de négative en positive une somme de 5 nombres, crôit strictement. Or, cette somme algébrique est majorée au pire par la somme de la valeur absolue des cent nombres.
C'est une libre reprise d'un problème d'Olympiade, qui mettait n*m nombres dans un rectangle, et sur lequel on pouvait agir sur le signe de la somme d'une ligne ou d'une colonne.

Bizarrement, ton exemple plus subtil me parait beaucoup plus simple. Il suffit de dessiner un cache avec les déplacements du second.

J'ai bien compris. MP envoyé.

Je le vois comme ça:
On observe 1 seule ligne. Le 1er cache s'y déplace d'une case à la fois. Si le 1er cache comporte k fenêtres, au bout d'un certain nombre de déplacements, on peut dire que la somme totale observée, pour tous les déplacements, vaut k fois chacun des nombres de la ligne. Cette somme est évidemment positive.
On fait la même chose avec le second cache sur les mêmes cases, au bout d'un certain nombre de déplacements, la somme totale vaudra environ j fois les mêmes nombres que le 1er cache. j fois cette somme sera aussi positif, puisque k fois l'est.
Or on ne peut avoir du positif avec uniquement des sommes partielles toutes négatives.