Soient les 7 boules numérotées de 1 à 7. On pèse:

1-2-3 contre 4-5-6

1 - Egalité des poids ( 1ère pesée)

On a une fausse boule dans 1-2-3 et une fausse boule dans 4-5-6. La boule 7 est vraie. On pèse 4 contre 5.

    1.1 - Egalité des poids (2ème pesée)
     La fausse boule est la boule 6. Les boules 4-5-7 sont vraies. On pèse 1 contre 2.

            1.1.1 - Egalité des poids (3ème pesée)
            Les fausses boules sont les boules 3 et 6. Terminé en 3 pesées.

            1.1.2 - Inégalité des poids (3ème pesée)
            La fausse boule est soit la 1, soit la 2. On compare 1 avec 6 (dont on sait qu'elle est fausse. Terminé en 4 pesées.

     1.2 - Inégalité des poids (2ème pesée)
     La fausse boule est soit la boule 4, soit la boule 5. On pèse 1 contre 2.

            1.2.1 - Egalité des poids (3ème pesée)
            La fausse boule est la 3. On finit en comparant 3 et 4. Terminé en 4 pesées.

            1.2.2 - Inégalité des poids (3ème pesée)
            La fausse boule est soit la 1, soit la 2. On compare 1 avec une vraie boule (par exemple 7).

                  1.2.2.1 - Egalité des poids (4ème pesée)
                  La boule 2 est fausse. On en déduit si les fausses boules sont plus légères ou plus lourdes, ce qui permet de conclure sur 4 ou 5. Terminé en 4 pesées.

                  1.2.2.2 - Inégalité des  poids (4ème pesée)
                  La boule 1 est fausse. Même déduction que dans 1.2.2.1 et c'est terminé en 4 pesées.

2 - Inégalité des poids (1ère pesée)
Soit la boule 7 est fausse, soit l'un des 2 tas 1-2-3 ou 4-5-6 contient deux fausses boules. On pèse 4-3-7 contre 1-2-5.

     2.1 - Egalité des poids (2ème pesée)
     6 est une vraie boule. Si 4 est une fausse boule, alors 5 est l'autre fausse boule. Si 3 est une fausse boule, alors l'autre est soit 1 soit 2. Si 7 est une fausse boule, alors l'autre peut-être 1, 2 ou 5. On pèse 6 contre 7.

          2.1.1 - Egalité des poids (3ème pesée)
          6 et 7 sont de vraies boules. Les possibilités de fausses boules sont donc 4-5 d'une part ou 3 et (1 ou 2) d'autre part. On pèse 1 contre 2. Soit il y a égalité et alors le duo gagnant est 4-5, soit il y a inégalité et alors 3 est une fausse boule. On a vu à la première pesée si elle est plus lourde ou plus légère et donc on peut conclure sur 1 ou 2. Terminé en 4 pesées.

          2.1.2 - Inégalité des poids (3ème pesée)
          6 est une vraie boule. 7 est une fausse boule. On sait si elle est plus lourde ou plus légère et on peut donc conclure sur 5 directement ou entre 1 et 2 en 4 pesées.

    2.2 - Inégalité des poids (2ème pesée)
          2.2.a - Inversion de l'inégalité         
          Si 6 est fausse, alors l'autre fausse est soit 4, soit 7.
          Si 1 est fausse, alors 2 est fausse.
          On finit facilement en 4 pesées.

          2.2.b - Non inversion de l'inégalité
          Si 3 est fausse, alors 7 est fausse.
          Si 5 est fausse, alors 6 est fausse.
          C'est terminé en 4 pesées.

J'en conclus que l'on peut déterminer les 2 fausses boules en au plus 4 pesées.

Alors la boule G est sûre d'être une intruse. Pour la deuxième c'est soit A, soit D.
Et je pèse la A avec la B (qui est normale). S'il y a égalité, D est la 2e intruse, sinon c'est A.

Ah oui. Vous m'avez piégé !
Bon après quelques réflexions je propose ces pesées (toujours 4) :
- Pesée 1 : ABC/DEF
- Pesée 2 : ACD/BFG
- Pesée 3 : BCE/ADG
- Pesée 4 : Dépend en fonction des trois autres pesées.
J'espère que c'est bon.

Oui mais on n'a qu'à peser avec une des boules qu'on sait normale.
Exemple : on pèse A avec E (qui est normale); si ça penche c'est A et B les intruses, sinon c'est C et G.

En fait, il y a 21 "paires de boules", donc 42 posibilités d'avoir 2 intruses parmi 7 boules. La plus petite puissance de trois supérieure à 42 est 3^4 d'où les 4 pesées.

Et zut, ça ne marche pas pour = + + (3 possibilités) ni + + = (4) ni + = + (4). Et je pense qu'il n'y a pas de possibilités pour le + + +. Donc, il faut que je réorganise mieux.

Salut,

soit
-[latex]a [/latex]  nombre de boules normales
-[latex]b[/latex]      '       plus lourdes
-[latex]c[/latex]      '        plus légères

Comme [latex]a[/latex] concerne les boules à caractère normal (donc les plus nombreuses) , j'en déduis que [latex]a>b[/latex] et  [latex]a>c[/latex].
On sait aussi qu'il existe au moins deux boules lourdes, donc : [latex]b \geq 2[/latex] et  [latex]3 \leq a \geq 5[/latex].

Je trouves 4 équations possibles du genre a+b+c=7
[TeX]3+2+2=7[/TeX]
[TeX]4+2+1=7[/TeX]
[TeX]4+3+0=7[/TeX]
[TeX]5+2+0=7[/TeX]
Voilà où j'en suis, me reste plus qu'à trouver quoi faire avec ça.
Je vais commencer par peser 3x3 en laissant une de coté et voir ce qu'il peut se passer...
Oups, je m'aperçois qu'il s'agit d'intru de même poids (pas forcement deux lourdes), mais ne change pas mes équations.

Les intruses sont elles toutes de même masse ? C'est important.

Je l'ai en 5 pesées. Je ne pense pas qu'on puisse le faire en 4.

Appelons les boules a b c d e f. et pesons-les par paires.
Si |). 1.a=b 2.c=d et 3.e=f ➡ g est normale et il nous reste a déterminer si 4.g = ou ~ de a et si 5. g = ou ~ de c.
Si ||). 1.a~b 2.c=d 3.e=f ➡ g est intruse et il nous reste à déterminer si 4.g=ou~a
Si |||). 1.a~b 2.c~d et 3.e=f (car ça peut-être dans le désordre) g e et f sont normales et il nous reste à déterminer si 4.g=ou~a et 5.g=ou~c.
Dans le meilleur des cas il nous faut 5 pesées.

nodgim:bravo! cette méthode est élégante .Sobre efficace et surprenante quand on pense au nombre de billes utilisé pour la deuxième pesée.Félicitations!

Longshadow:on peut faire une pesée de moins.

Bon, je me lance en essayant de minimiser au maximum le nombre de boules pour ne pas fatiguer la balance :Spoiler : [Afficher le message]  pas plus de 10 boules à y poser pour déterminer le couple et sa différence de poids , qui dit mieux ? 

Mes deux premières pesées sont : 12 / 34  puis 1 / 5


On commence par 2 cas triviaux :

Cas 1 : La balance penche à gauche puis à droite
Les boules 2 et 5 sont plus lourdes

Cas 2 : La balance penche à droite puis à gauche.
Les boules 2 et 5 ont plus légères

Ensuite on réfléchit un peu :
Je vais simplifier les notations
G pour penche à  Gauche ,
D pour penche à Droite
et E pour Equilibre

Cas 3 : la balance penche deux fois à gauche

3 / 4 : 
G : 4 et 5 plus légères
D : 3 et 5 plus légères
E  : une quatrième pesée est nécessaire :

6 / 7   
G : 1 et 6 plus lourdes
D : 1 et 7 plus lourdes
E : 1 et 2 plus lourdes

Cas 4 : la balance penche deux fois à droite (cas tout à fait similaire)

3 / 4 : 
G : 3 et 5 plus lourdes
D : 4 et 5 plus lourdes
E  : une quatrième pesée est nécessaire :

6 / 7   
G : 1 et 7 plus légères
D : 1 et 6 plus légères
E : 1 et 2 plus légères

Cas 5 : équilibre puis à gauche  ( C'est assez facile )

3 / 4
G : 1 et 3 plus lourdes
D : 1 et 4 plus lourdes
E  : une quatrième pesée est nécessaire :

6 / 7
G : 5 et 7 plus légères
D : 5 et 6 plus légères

Cas  6 : équilibre puis à droite

3 / 4
G : 1 et 4 plus légères
D : 1 et 3 plus légères
E  : une quatrième pesée est nécessaire :

6 / 7
G : 5 et 6 plus lourdes
D : 5 et 7 plus lourdes

Cas 7 :  deux fois de suite à l'équilibre (dans ce cas 4 pesées obligatoires)
1 / 2
G : 1 / 3   => G 2 et 3 légères,  E 2 et 4 légères
D : 1 / 3   => D 1 et 3 lourdes, E 2 et 4 légères
E : 1 / 6   => D 6 et 7 lourdes, G 6 et 7 légères

Et enfin, les deux cas les plus complexes...

Cas 8 : à droite puis équilibre 6 / 7

G: 3 / 4 => G 4 et 7 légères , D 3 et 7 légères , E 2 et 6 lourdes
D : 3 / 4 => G 4 et 6 légères , D 3 et 6 légères , E 2 et 7 lourdes
E : 1 / 2 => G 1 et 5 lourdes , E 3 et 4 légères

Cas 9 : à gauche puis équilibre 6 / 7

G: 3 / 4 => G 3 et 6 lourdes , D 4 et 6 lourdes , E 2 et 7 légères
D : 3 / 4 => G 3 et 7 lourdes , D 4 et 7 lourdes , E 2 et 6 légères
E : 1 / 2 => D 1 et 5 légères , E 3 et 4 lourdes

Ok, tu as répondu a nogim que les intruses avaient toutes la même masse, tu aurais pu nous en faire part.
Il n'est pas indiqué que les deux intruses de même poids dont tu parles sont les seules.

J'aurais pu chercher longtemps...