On sait que P et Q => R  équivalent a P => R ou Q => R.

Ba non, on ne sait pas ça et même mieux, on sait que c'est faux.
Avec la vision ensembliste c'est trivialement faux:
P et Q => R  veut dire que l'intersection de P et Q est inclue dans R.
Et on peut parfaitement avoir l'intersection de deux ensembles inclus dans un autre sans que pour autant ni l'un ni l'autre n'y soit inclus.

J'ai ajouté la démonstration de la première équivalence et tout réécrit avec les symboles logiques.

P et Q ne sont pas indépendants dans ton exemple.
La configuration P=0 (x<0) et Q=0 (x>2) n'existe pas.
A partir de là, on ne peut pas vraiment raisonner en logique.

Je ne pense pas que ce soit exact... Dans ton "par conséquent, tu considère que les relations au dessus sont réversibles., autrement dit que

P et q => R  oblige à  nonP ou nonQ ou R OK

Mais ça ne veut pas dire que
nonP ou nonQ ou R oblige à P et q => R

Le OU est inclusif donc ça ne tient pas compte de nonP et nonQ et R

La conclusion est donc fausse.

Dans l'exemple : on se retrouve à oublier : si x est compris entre 0 et 2 du coup... et là ça ne marche plus.

Oui mais pas la réciproque :

Tu dis que A=> B est équivalent à nonA ou B Je dis NON

A=>B implique que nonA ou B
Mais si les deux ensembles sont en partie disjoints la réciproque est fausse.

On peut avoir A et nonB. Ce n'est pas une équivalence, c'est une implication.

Or dans tes deux cas qui mènent à la même conclusion (exacte) la conclusion ne ramène pas à l'hypothèse, on ne peut pas les lier dans la conclusion finale. Il n'y a pas d'équivalence.

Un dessin :

Plus tard, des problèmes de connexion...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Implication_%28logique%29

La formule initiale est toujours VRAIE, c'est ce qu'on appelle, je crois, une tautologie.

(x > 0 => x² < 4) n'est certes pas vraie pour tout x, mais pour x strictement inférieur à 2.
(x < 2 => x² < 4) est vraie pour x strictement supérieur à -2.

Donc la formule complète (union de ceux deux implications) est vraie pour tout x réel, donc équivalente à VRAI, donc équivalente à la première !

[latex](x > 0  \Rightarrow x² < 4) \text{ ou }(x < 2  \Rightarrow x² < 4)[/latex] est curieusement vraie.

C'est bien le cas si [latex]x\leq 0[/latex] ou [latex]x\geq 2[/latex] car il n'y a rien à discuter et dans le cas contraire c'est à dire quand [latex]0<x<2[/latex] il n'y a aucun problème .

Vasimolo

Bon on va mettre ça sur le compte de la fatigue

Oui, effectivement, si elles sont toutes les deux vérifiées alors la conclusion est vraie, donc la disjonction est vraie. Les deux prémisses ne peuvent pas être vérifiées en même temps lorsque la conclusion est fausse.

En fait l'arnaque est ici :

Mais, l'on sait bien qu'aucune de ces 2 propositions n'est vraie...

Ce qui n'est pas vrai ce sont les propositions :

V x, x> 0 -> x² < 4 et
Vx, x < 2 -> x² < 4  (où le V représente la quantification universelle)

mais pour un x fixé, on a forcément une des deux proposition qui est vraie.

Oui, attention : P implique R ne se traduit pas, géométriquement, par P inclus dans R, mais par tout sauf la partie de P non commune à R (un dessin avec des patates serait mieux...). Cette confusion vient une fois de plus du fait qu'on oublie trop souvent que si P est faux, l'implication est vraie !