Rah zut! Je pensais avoir oublié le premier déplacement, en fait j'ai oublié toute la montée, bah oui ! 18 en aller retour + 1 en montée =19 en moyenne à chaque wagon.

Voici un début de justification (tout est calculé avec un ordi )

Remarque préliminaire :
on ne peut arriver en W20 qu'au bout de 19 minutes au minimum . Si l'on considère que l'on part du wagon 2 , on ne peut arriver en W20 que lors de minutes paires . On  appellera alors mouvement un déplacement de 2 minutes (2 wagons) Dans la colonne [latex]C_x[/latex] on notera les probabilités d'être d'être de haut en bas en W2, W4 ..... W18 (soit au bout de [latex]2 x + 1[/latex] minutes)
Un calcul simple de probabilité nous donne donc la matrice: [latex]
\begin{math} A:=\left(   \begin{array}{ccccccccc}\cfrac{3}{4} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{2} \end{array} \right)  \end{math}
[/latex]

et on a [latex]C_{x+1}= A \times C_x[/latex]

Les conditions initiales:[latex]
\begin{math} C_0:=\left(   \begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)  \end{math}


[/latex]

qui indiquent qu'au mouvement de départ on est dans le wagon 2 avec une proba de 1 .

Par exemple après  500 mouvements :[latex]

\begin{math} {C_{500}} = \left(   \begin{array}{c}0,006830615603203 \\ 0,006644294215632 \\ 0,00627673380224 \\ 0,005737960452947 \\ 0,005042670500243 \\ 0,004209829641555 \\ 0,003262155604454 \\ 0,002225498466269 \\ 0,001128135531367 \end{array} \right)  \end{math}

[/latex]

La probabilité de de ne pas être en W20 après 500 mouvements est donc la somme des termes de la colonne :
[TeX]
\begin{math} \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{500}}_{l\,1}}} = 0,04135789381791 \end{math}
[/TeX]
La probabilité de sortie au 500e mouvement est alors la différence entre le 499e mouvement et le 500e mouvement :
[TeX]
\begin{math} p:=\displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{499}}_{l\,1}}} - \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{500}}_{l\,1}}} \end{math}
[/TeX]
En général: [latex]
\begin{math}\displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{x - 1}}_{l\,1}}} - \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{x}}_{l\,1}}} \end{math}
[/latex]

est la probabilité d'arriver au wagon 20 au mouvement x .
Finalement :
L'espérance:[latex]  \begin{math} E:=2 \times \displaystyle \sum_{ x=1}^{ m}{x \times  \left( \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{x - 1}}_{l\,1}}} - \displaystyle \sum_{ l=1}^{ 9}{{{C_{x}}_{l\,1}}} \right) } + 1 \end{math}
[/latex]

En calculant cette somme jusqu'à [latex]x = 5000[/latex] on trouve[latex] E = 361[/latex]

Il ne reste plus qu'à démontrer que cette formule donne [latex]19^2[/latex]

Bravo aussi à Francky pour sa belle et simple démonstration !
Elle m'énerve un peu (j'ai passé un peu de temps avec des formules longues comme le bras) !
Mais je vais tâcher de persévérer dans ma méthode ingrate, si j'en ai encore le temps et le courage...

Approfondissement:

Et si monsieur le voyageur bougeotte était monté dans une voiture quelconque notée d? Combien de temps en moyenne mettrait-il pour arriver en dernière voiture notée k?

AN: k=20 et d=9

Je suis arrivé rapidement avec ma théorie oscillatoire à:
[TeX]TempsMoyen(k,d)=(k-d)(k+d-2)[/TeX][TeX]AN: TempsMoyen(20,9)=11*27=297min=4h57min[/TeX]
Quelqu'un peut-il confirmer? A vous!

kossi_tg a écrit:

Approfondissement:

Et si monsieur le voyageur bougeotte était monté dans une voiture quelconque notée d? Combien de temps en moyenne mettrait-il pour arriver en dernière voiture notée k?

Je suis arrivé rapidement avec ma théorie oscillatoire à:
[TeX]TempsMoyen(k,d)=(k-d)(k+d-2)[/TeX]
Quelqu'un peut-il confirmer? A vous!

Oui, c'est bien ça kossi.

Nous avons vu que [latex]TempsMoyen(k,1)=(k-1)^2[/latex]

Ce qui donne
[TeX]TempsMoyen(k,d)=TempsMoyen(k,1)-TempsMoyen(d,1)[/TeX]
[TeX]=(k-1)^2-(d-1)^2[/TeX]

Oh mon Dieu, mon erreur est si débile m'apprendra à partir bille en tête

nodgim,
mathias a émis une phrase qui explique bien ma théorie:

Si j'ai une chance sur deux de réussir quelque chose à chaque tentative, j'y arriverai en moyenne la deuxième fois.

En effet de manière successives, je procède comme ci-après:
*** en voiture m: il a 1 chance sur 2 d'aller en m+1 donc il faut s'y prendre 2 fois en moyenne. Il revient donc en voiture 1 et tente sa chance la 2è fois.
*** il fait ces tentatives pour toutes les voitures jusqu'à la voiture finale d'où mes aller/retour que j'ai mécaniquement appelés "mouvement oscillatoire" (clin d'oeil aux cours de méca de prépa).

Mathias, il me semble que là où tu t'es trompé dans ton raisonnement, c'est en considérant que, partant du wagon n, le temps moyen pour arriver au wagon n+1 la 2ème fois était le même que la 1ère fois.
La formule de Francky donne à mon avis la réponse (#30) : le temps moyen pour atteindre le wagon n+1 vaut le temps moyen pour atteindre le wagon n, plus 50% de 1 minute (cas favorable), plus 50% de 1 minute et le temps moyen pour aller du wagon n-1 au wagon n+1 (cas défavorable) : 
t(n+1) = t(n) + 0,5*1 + 0,5*[1+t(n+1) - t(n-1)]
d'où t(n+1) = 2t(n) - t(n-1) + 2

fix33 a écrit:

Mathias, il me semble que là où tu t'es trompé dans ton raisonnement, c'est en considérant que, partant du wagon n, le temps moyen pour arriver au wagon n+1 la 2ème fois était le même que la 1ère fois.

Ca, j'avais compris. D'où mon auto-flagellation il y a quelques posts...

Nodgim (je peux t'appeler Nodjuy ? ), je ne sais pas si tu as vu mais l'exemple n'est pas pris au hasard : pour chaque tentative à 1 wagon donné, on a alternativement un échec et une réussite (conformément à la moyenne qu'on veut obtenir). Et il se trouve que ça amène à ce phénomène d’ascenseur.

Ok masab. Comment fais-tu en pratique pour calculer [latex]B[/latex] puis [latex]m[/latex] ? Le calcul est-il faisable pour [latex]n=100[/latex] ?

Mais tu as vu la démonstration de Francky (#30) ?