Vasimolo me fait remarquer qu'il a déjà posé un problème similaire:
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4747
Désolé de n'avoir pas vérifié.

La réponse à l'existence est donc oui et cela m'a aussi permis de voir la démonstration (merci, elle est bien). Je ne suis par contre pas convaincu qu'on y arrive par l'irrationalité de ln2.

Il reste donc la deuxième partie de ma question pour les durs à cuire: Quelle est la plus petite puissance de 2 commençant par 2010 (les suivantes aussi si vous voulez ), combien a-t-elle de chiffres (et que vaut-elle pour les courageux) ?

On a l'encadrement suivant
[TeX]2010*10^k<= 2^n <= 2011*10^k[/TeX]
On passe en log et on cherche n tel que la partie fractionnaire de n*log(2)-log(2011) soit inférieure à log(2011)-log(2010).

Pour le nombre de chiffres, ce sera la partie entière de n*log(2)+1.

Un tableur permet de trouver les premières solutions.

Les trois premières:

10877 et 3275 chiffres
13013 et 3918 chiffres
15149 et 4561 chiffres.

Et hop!

La réponse est 10877 avec 3275 chiffres

C'est le 2010ieme élément de la série A018856 de l'encyclopédie des séries d'entiers.

Et voici une liste plus complete des nombres qui répondent au critere:

2^10877 = 2.0103090933200 * 10^3274
2^13013 = 2.0106365608861 * 10^3917
2^15149 = 2.0109640817947 * 10^4560
2^24178 = 2.0101809998496 * 10^7278
2^26314 = 2.0105084465500 * 10^7921
2^28450 = 2.0108359465896 * 10^8564
2^37479 = 2.0100529145411 * 10^11282
2^39615 = 2.0103803403772 * 10^11925
2^41751 = 2.0107078195490 * 10^12568
2^52916 = 2.0102522423671 * 10^15929
2^55052 = 2.0105797006725 * 10^16572
2^57188 = 2.0109072123189 * 10^17215
2^66217 = 2.0101241525191 * 10^19933
2^68353 = 2.0104515899595 * 10^20576
2^70489 = 2.0107790807374 * 10^21219
2^81654 = 2.0103234874094 * 10^24580
2^83790 = 2.0106509573202 * 10^25223
2^85926 = 2.0109784805740 * 10^25866
2^94955 = 2.0101953930219 * 10^28584
2^97091 = 2.0105228420669 * 10^29227
2^99227 = 2.0108503444514 * 10^29870
2^108256 = 2.0100673067963 * 10^32588
2^110392 = 2.0103947349768 * 10^33231
2^112528 = 2.0107222164934 * 10^33874
2^123693 = 2.0102666360494 * 10^37235
2^125829 = 2.0105940966995 * 10^37878
2^127965 = 2.0109216106910 * 10^38521
2^136994 = 2.0101385452844 * 10^41239
2^139130 = 2.0104659850692 * 10^41882
2^141266 = 2.0107934781920 * 10^42525
2^150295 = 2.0100104626810 * 10^45243
2^152431 = 2.0103378816019 * 10^45886
2^154567 = 2.0106653538575 * 10^46529
2^156703 = 2.0109928794563 * 10^47172
2^165732 = 2.0102097862972 * 10^49890
2^167868 = 2.0105372376868 * 10^50533
2^170004 = 2.0108647424162 * 10^51176
2^179033 = 2.0100816991545 * 10^53894
2^181169 = 2.0104091296794 * 10^54537
2^183305 = 2.0107366135408 * 10^55180
2^194470 = 2.0102810298349 * 10^58541
2^196606 = 2.0106084928296 * 10^59184
2^198742 = 2.0109360091661 * 10^59827
2^207771 = 2.0101529381527 * 10^62545
2^209907 = 2.0104803802820 * 10^63188
2^212043 = 2.0108078757497 * 10^63831
2^221072 = 2.0100248546322 * 10^66549
2^223208 = 2.0103522758975 * 10^67192
2^225344 = 2.0106797504978 * 10^67835
2^236509 = 2.0102241796756 * 10^71196
2^238645 = 2.0105516334097 * 10^71839
2^240781 = 2.0108791404842 * 10^72482
2^249810 = 2.0100960916158 * 10^75200
2^251946 = 2.0104235244851 * 10^75843
2^254082 = 2.0107510106914 * 10^76486
2^265247 = 2.0102954237234 * 10^79847
2^267383 = 2.0106228890628 * 10^80490
2^269519 = 2.0109504077444 * 10^81133
2^278548 = 2.0101673311240 * 10^83851
2^280684 = 2.0104947755979 * 10^84494
2^282820 = 2.0108222734105 * 10^85137
2^291849 = 2.0100392466865 * 10^87855
2^293985 = 2.0103666702961 * 10^88498
2^296121 = 2.0106941472412 * 10^89141
2^307286 = 2.0102385731570 * 10^92502
2^309422 = 2.0105660292358 * 10^93145
2^311558 = 2.0108935386553 * 10^93788
2^320587 = 2.0101104841801 * 10^96506
2^322723 = 2.0104379193939 * 10^97149
2^324859 = 2.0107654079450 * 10^97792
2^336024 = 2.0103098177149 * 10^101153
2^338160 = 2.0106372853990 * 10^101796
2^340296 = 2.0109648064257 * 10^102439
2^349325 = 2.0101817241984 * 10^105157
2^351461 = 2.0105091710168 * 10^105800
2^353597 = 2.0108366711744 * 10^106443
2^362626 = 2.0100536388437 * 10^109161
2^364762 = 2.0103810647978 * 10^109804
2^366898 = 2.0107085440876 * 10^110447
2^378063 = 2.0102529667415 * 10^113808
2^380199 = 2.0105804251649 * 10^114451
2^382335 = 2.0109079369294 * 10^115094
2^391364 = 2.0101248768474 * 10^117812
2^393500 = 2.0104523144057 * 10^118455
2^395636 = 2.0107798053017 * 10^119098

quand a la séquence de nombre entiers mentionnée plus haut, vous trouverez ici dans quelques jours, une liste jusqu'a 32699.

Félicitations à Dan et Franck pour leur réponse aussi.

Pour info 2^10877 =
20103090933200284360504158627823616669086870129606656506765454527954944
526455034432192512310899315192627200117686772398817280174418775949180928
389795995389001728074410998657449984861439383171497984479169047786422272
576775693727432704384529755099889664192335958963126272964228177193336832
823296842813931520217144687250112512543057660288958464771181558820765696
210860021565882368844148907664998400818317915776090112371069091303653376
884987644396437504568130170215464960884583635919568896137529297743642624
922750874163609600032670271289163776753292113486807040976537075828654080
491413475271901184066384263200899072317067772862398464334469034613932032
975335149650313216737809939033751552123571592466530304379375460939988992
375477033726115840708810803796246528644150813915086848653044613886246912
820285441375207424625254744430739456602868140077219840312342341147951104
836052772669095936483581274315030528787605023666733056193373165100466176
109809832484405248853300052621000704871236555132895232239623780279517184
769988929349222400790443177570467840857614770017927168497059113380085760
196610609980637184689999314255347712142474061978009600058423993724567552
441792109827850240482326946220867584233409628563308544699729258057302016
616247237988057088650258268430270464132110561643593728259504231863287808
890961806000128000712053833054027776141415016771878912452995929041534976
981802656675921920610263161821724672038176871478198272346825952421216256
486507160877662208921842469709545472110032285682892800196005137489592320
260288714642292736827255256415993856906701237437595648098231823354036224
706958190473641984559724751588687872546984347384938496762698633204203520
945996365050937344996539283132383232064843772894117904859644348890873856
026105020591898624431614314566647808785792341017624576991201749552332800
577315268547837952365252772212768768446636930295398400741687717221105664
198504038441943040978575074580496384703646867986055168603241878019375104
399345042094555136872405569471250432885117876741603328212070188131811328
537539143222427648833079693163102208291346024768471040941161559580213248
283214656283082752750922755441688576169078018507538432446681542982369280
912566283246764032109662950095585280230306688644415488957788843278336000
780424882066292736553789717667643392427863723930812416920507211105697792
109842063115943936194851371326636032335249777267834880339032052136673280
753557996930334720496824898779348992319728464441376768111993100710707200
642816796467134464297519500391350272283228610561048576350316778712989696
352144163769679872003961645484736513296001910244900864450882420164263936
292372727739187200005746326561095680520406086932496384066588458973921280
798905204582121472611659699434553344445588566903619584522862812361654272
173332597431861248935779797069725696752903430748504064961879699207225344
369612000807616512429238355131629568532937532424585216060612617782165504
535443774718345216528721224998322176850638041663406080508540591738978304
940956894566809600931426147580510208585670943706185728335374341082185728
491187744580567040031546467983556608851399265090273280545113544619982848
279104123460386816594082541757530112241014199257923584082246107353055232
043281368822579200184840721698390016532367420267167744282392698660061184
499212706933374976112135825322934272

Scarta et Papiauche, le duo incroyable. Le premier explique pourquoi la solution existe, avec une facilité incroyable ; le second montre tout aussi facilement comment l'obtenir. J'aime ces deux-là