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#1 - 25-04-2019 19:43:57
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
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nombee impair exprimé en puissances de 2.
Bonsoir @ tous.
Évidemment, on peut exprimer un nombre impair en binaire. Cependant, est ce qu'on peut toujours l'exprimer comme une somme de n (suffisamment grand, mais aussi grand que l'on veut) puissances de 2 ( de 0 à n-1 ), chacune étant exprimée une fois et une seule en positif ou négatif ?
Par exemple 13 = 32-16-8+4+2-1.
C'est facile, mais il faut la preuve.
Bonne recherche !
#2 - 25-04-2019 20:05:26
- Ebichu
- Expert de Prise2Tete
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Nombre impair expriméé en puissances de 2.
Salut nodgim,
sur un exemple : prenons 281, qui vaut 256+16+8+1 soit 100011001 en binaire.
Si on veut l'exprimer de la façon voulue en partant de 512, on l'écrit avec des zéros inutiles en binaire jusqu'à atteindre le rang de 512, soit 0100011001.
Puis on fait apparaitre dans cette écriture des groupes du type 00...001 (avec un nombre de zéros >=0) : c'est (01)(0001)(1)(001).
Pour chaque groupe de ce type, on écrit la somme de puissances de deux avec le premier terme positif et les autres négatifs : 281 = (512-256) + (128-64-32-16) + (8) + (4-2-1).
Ça utilise juste que 2^n = 2^(n+k) - 2^(n+k-1) - ... - 2^n.
#3 - 26-04-2019 08:12:49
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
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nombre impait exprimé en puissances de 2.
@ Ebichu : c'est exactement la réponse que j'attendais.
#4 - 27-04-2019 15:08:01
- caduk
- Professionnel de Prise2Tete
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nombre impair exprimé en puisdances de 2.
Pour tout n, soit k tel que n < 2^k n s'écrit donc de manière unique comme somme de puissance de 2 strictement plus petites que 2^k. 2^k - 2^k-1 - 2^k-2 - ... - 1 = 1 2n+1 s'écrira donc sous la forme recherchée, avec des + correspondant aux 1 dans l'écriture binaire de n.
#5 - 27-04-2019 17:34:11
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
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nombre impair exprimé en puussances de 2.
Attention Caduk, je me demande si je me suis bien exprimé dans l'énoncé.
Pour former 19 par exemple :
On peut le faire avec k = 4 ou 5, ou 6, ou 7, .....( tu pourras vérifier )
Il faut démontrer que ça marche pour tout k au dessus d'une certaine valeur.
#6 - 28-04-2019 16:44:34
- godisdead
- Expert de Prise2Tete
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Nombre impari exprimé en puissances de 2.
Ex : 19 = 2^4 + 2^3 -2^2 - 2^1 + 1 On peut augmenter N à volonté. 2^4 = 2^5 - 2^4 2^5 = 2^6 - 2^5 donc 2^4 = 2^6 - 2^5 - 2^4 etc.
#7 - 29-04-2019 08:02:36
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
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nombre impair exprimé en puissznces de 2.
Salut Godisdead.
ça marche certes pour 19, mais est ce que ça marche pour tout nombre impair ?
Y a un truc bien net qui le dit....
Penser binaire !
#8 - 29-04-2019 08:05:41
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
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Nombre impair exprimé en puissances de 2
Bon, ben le temps est déjà écoulé, voyez la réponse d'Ebichu et essayez là, vous verrez ça marche très bien !
#9 - 29-04-2019 12:48:59
- caduk
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Nombre impair exprimé en piussances de 2.
nodgim Je ne comprend pas ta remarque, j'ai montré qu'on pouvait le faire pour tout k tel que n < 2^k n peut alors s'écrire comme expression binaire de k termes (avec éventuellement des 0 non significatifs. 2n+1 s'écrira alors sous la forme recherchée, les 1 de l'expression binaire de n transformant les - en + Je pense que ta confusion vient du fait que mon n n'est pas le même que celui de ton énoncé...
Je donne un exemple pour exlaircir ma solution: pour écrire 23: 23 = 2*11 + 1 11 = 001011 (une écriture binaire possible)
1 = 2^6 - 2^5 - ... -2^0 = 1(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)
2*11 + 1 = 1(-1+2*0)(-1+2*0)(-1+2*1)(-1+2*0)(-1+2*1)(-1+2*1) = 1(-1)(-1)1(-1)11 = 2^6 - 2^5 - 2^4 + 2^3 -2^2 + 2^1 + 2^0
#10 - 30-04-2019 16:57:38
- nodgim
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nombre impair exprimé en puissanves de 2.
@Caduk.
Tu avais écrit en 1er message :.... avec des + correspondants aux 1. C'est ça qui m'a fait dire que c'était faux.
Pour écrire le nombre 0000111000101001, il faut: 00001... 1... 1.... 0001... 01.....001 +----.....+....+....+---......+-....+--
Le 1(+) est repoussé à droite d'une unité pour chaque (-).
J'avoue n'avoir toujours pas compris convenablement ton 2ème message, ça vient sûrement de moi.
#11 - 30-04-2019 19:17:04
- caduk
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nombre impair zxprimé en puissances de 2.
Je vais refaire ma méthode sur ton nombre. x = 0000111000101001 (x - 1)/2 = 000011100010100
Si on étend la notation binaire à des coefficients pouvant valoir -1 ou 2, on obtient
1 + 2*(x - 1)/2 = 1(-1)(-1)(-1)(-1)...(-1) + 000022200020200 En opérant bit à bit: x = 1(-1)(-1)(-1)(-1)111(-1)(-1)(-1)1(-1)1(-1)(-1)
#12 - 30-04-2019 19:36:55
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
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nombrr impair exprimé en puissances de 2.
C'est OK pour moi maintenant, et en relisant ton 1er message, il est effectivement correct. C'est que le passage de n à 2n+1 est un peu abscons, mais bon je comprends que tu voulais faire coïncider les + avec les 1.
Donc tu avais bien la bonne réponse dès le départ, bravo à toi également !
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