Salut nodgim,

sur un exemple : prenons 281, qui vaut 256+16+8+1 soit 100011001 en binaire.

Si on veut l'exprimer de la façon voulue en partant de 512, on l'écrit avec des zéros inutiles en binaire jusqu'à atteindre le rang de 512, soit 0100011001.

Puis on fait apparaitre dans cette écriture des groupes du type 00...001 (avec un nombre de zéros >=0) : c'est (01)(0001)(1)(001).

Pour chaque groupe de ce type, on écrit la somme de puissances de deux avec le premier terme positif et les autres négatifs :
281 = (512-256) + (128-64-32-16) + (8) + (4-2-1).

Ça utilise juste que 2^n = 2^(n+k) - 2^(n+k-1) - ... - 2^n.

Pour tout n, soit k tel que n < 2^k
n s'écrit donc de manière unique comme somme de puissance de 2 strictement plus petites que 2^k.
2^k - 2^k-1 - 2^k-2 - ... - 1 = 1
2n+1 s'écrira donc sous la forme recherchée, avec des + correspondant aux 1 dans l'écriture binaire de n.

Ex : 19 = 2^4 + 2^3 -2^2 - 2^1 + 1
On peut augmenter N à volonté.
2^4 = 2^5 - 2^4
2^5 = 2^6 - 2^5
donc
2^4 = 2^6 - 2^5 - 2^4
etc.

Bon, ben le temps est déjà écoulé, voyez la réponse d'Ebichu et essayez là, vous verrez ça marche très bien !

@Caduk.

Tu avais écrit en 1er message :.... avec des + correspondants aux 1. C'est ça qui m'a fait dire que c'était faux.

Pour écrire le nombre 0000111000101001, il faut:

00001... 1... 1.... 0001... 01.....001
+----.....+....+....+---......+-....+--

Le 1(+) est repoussé à droite d'une unité pour chaque (-).

J'avoue n'avoir toujours pas compris convenablement ton 2ème message, ça vient sûrement de moi.

C'est OK pour moi maintenant, et en relisant ton 1er message, il est effectivement correct. C'est que le passage de n à 2n+1 est un peu abscons, mais bon je comprends que tu voulais faire coïncider les + avec les 1.

Donc tu avais bien la bonne réponse dès le départ, bravo à toi également !