Il suffit de mettre des couleurs alternées comme sur un damier. Les chaises noires et les chaises blanches sont en nombres différents puisque le total est impair. Comme la règle implique un changement de couleur pour chaque personne, il y a un hic.

Mon raisonnement vaut ce qu'il vaut, mais j'ai ramené le problème à un que je sais résoudre.

Si une personne va sur une chaise voisine, la personne qui est sur cette chaise-là va se déplacer sur une autre, la personne qui était assise sur cette autre chaise, etc. jusqu'à la énième personne (avec [latex]N[/latex] le nombre total de chaises) qui devra occuper la place de la première. (Ou alors, il y aura plusieurs de ces boucles, disons [latex]k[/latex] boucles de [latex]n_1[/latex], [latex]n_2[/latex], ..., [latex]n_k[/latex] personnes respectivement, avec [latex]\sum_{i=1}^k n_i = N[/latex].)

Cela revient à un problème de déplacement d'une tour sur un plateau d'échecs : peut-on faire passer une tour une fois et une seule sur toutes les cases d'un échiquier et la faire revenir à son point de départ ? Ce passage par l'échiquier permet de raisonner en termes de couleurs : chaque mouvement "unitaire" de la tour la fera passer d'une case blanche à une noire ou inversement. Il est donc impossible de faire revenir la tour à la même case après un nombre impair de mouvements : si elle était partie d'une noire, elle tombera sur une blanche, et vice-versa.

Pareil dans le cas de notre chaise musicale : si le nombre de chaises N est impair, on ne pourra pas former une boucle de déplacement complète, et si l'on veut décomposer en plusieurs groupes de [latex]n_1[/latex], [latex]n_2[/latex], ..., [latex]n_k[/latex] personnes, alors [latex]\sum_{i=1}^k n_i = N[/latex] implique qu'au moins un [latex]n_i[/latex] est impair.

CQFD.

par l'absurde

Chaque personne se déplace dans l’une des quatre directions que l’on nommera nord, sud, est, ouest. On suppose qu’elles ont toutes la même masse  . Comme le centre de gravité ne se déplace ni vers le nord ni vers le sud, il y autant de personnes qui vont vers le nord que de personnes qui vont vers le sud, et donc il y a un nombre pair de personnes qui vont, soit vers le nord, soit vers le sud. De même, il y a un nombre pair de personnes qui vont, soit vers l’est, soit vers l’ouest. On en déduit que le nombre total de personnes est pair.

contradiction