Enigme Pair ou impair ? @ Prise2Tete

shadock · #1

Les olympiades de mathématiques eurent lieu le 24/03/2011, voici un des exercices que j'ai fait pour m’entraîner

Les nombres entiers de 1 à 2002 sont écrits en tableau. parmi eux, on choisit deux nombres, on les efface et, à la place de l'un d'eux, on écrit leur différence (le plus grand moins le plus petit), l'autre nombre restant effacé.
On recommence ... jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul nombre écrit au tableau.

Olypiades de mathématiques Toulouse 2002.

EDIT : La question est "Le dernier nombre est-il pair ou impair"

Shadock

irmo322 · #2

La somme des nombres modulo 2 est constante.
Il y a 1001 nombres impairs entre 1 et 2002 donc la somme des nombres de 1 à 2002 est impaire.
La réponse est donc impaire.

Jackv · #3

Je me suis longtemps posé la question de savoir ce que l'on demandait !
Si c'est le nombre restant, je ne suis vraiment pas sûr que la réponse soit unique ...
Mais si c'est uniquement sa parité, pour des nombres de 1 à N, c'est celle de la partie entière de (N+1)/2.
Pour N= 2002, il est donc impair.

Vasimolo · #4

La somme des nombres est initialement impaire ( 1001 X 2003 ) . A chaque manipulation on remplace l'un des deux entiers a ou b ( a le plus grand au sens large ) par a-b , l'autre est effacé . La somme est donc diminuée de 2b et reste impaire .

Le dernier nombre est impair

Vasimolo

franck9525 · #5

Suivant les nombres choisis, la réponse varie de 0 à 2002.

soit la liste 1 2 3 4
1 (3-2) 4 => 1 1 4 => (1-1) 4 => 0 4 => 4
ou
(2-1) 3 4 => 1 (4-3) => 1-1 => 0

y'a un truc qui cloche ??

halloduda · #6

A chaque fois, on enlève du tableau a+b-(a-b) = 2b pair.

La somme étant au départ 2003*1001 impaire, ce qui reste à la fin est impair.

Nombrilist · #7

C'est quoi la question ?

Bamby2 · #8

que tu les additionne ou les soustrait 2 impairs donnent un nombre pair, il faut donc compter modulo 4
2002 = 2, donc il reste 1 nombre impaire : le résultat est impair.

EDIT vu autrement, il y a 2002/2 = 1001 nombres impaires, on ne pourra pas tous les "annuler", donc le résultat est impair.

MthS-MlndN · #9

J'ai voulu tester un cas plus simple (de 1 a 3) et j'ai une réponse non unique.

2-1=1, 3-1=2

mais

3-1=2, 2-2=0

Bon, ça va pas m'aider a comprendre

dhrm77 · #10

impair.... bien entendu...

gasole · #11

1) On obtient forcément un nombre impair :

Partant d'un ensemble E dont la somme des éléments est e, on choisit A et B (B>A) et on obtient E' = E-{A,B}U{B-A}.

On a e'=e-2A, donc e' est de même parité que E, et donc que {1,...,2002} qui a une somme impaire.

2) On peut obtenir n'importe quel nombre impair. Soit k un nombre impair, la suite des entiers est : 1,2,...,(k-1),k,(k+1),...,2002

on fait : 2002-2001 (remplacés par 1), puis 2000-1999, ..., (k+3)-(k+2) --- on saute (k-1),k et (k+1)
on poursuit par (k-2)-(k-3),...,3-2 ce qui fournit un nombre impair de 1,qui donnent 1 au total.
Il reste 1,k-1,k,k+1 et 1
ensuite, on fait (k+1)-(k-1) = 2, ce qui donne 0 avec les deux "1" restants.

Au final, il reste k. Tout seul.

LeSingeMalicieux · #12

Tous les nombres premiers (hormis 2) étant impairs.

A la première étape :
- Si on choisi deux nombres impairs, leur différence sera paire. Donc avec 2, nous aurons deux nombres pairs dans le tableau
- Si on choisi un nombre impair et 2, leur différence sera impaire. Donc nous aurons zéro nombre pair dans le tableau

A la deuxième étape, quel que soit le cas utilisé dans la première (sans détail), nous aurons un pair ou trois pairs

A la troisième étape, nous aurons zéro, deux ou quatre pairs.

En continuant ainsi, je sens bien qu'après une étape d'ordre impair, on a un nombre pair de pairs, et inversement (après une étape d'ordre pair, on a un nombre impair de pairs).

Ainsi, à la 2011ème étape, il nous restera un nombre pair de pairs, soit zéro pair (et donc un impair).

Nombrilist · #13

2002-2001 = 1
2000-1999 = 1
etc

Ce qui donne 1001 "1". Donc, à la fin il reste un nombre impair.

gwen27 · #14

Si on tire deux nombres pairs : on en écrit un pair
Si on tire deux nombres impairs : on en écrit un pair
Si on tire un pair et un impair : on en écrit un impair.

La parité du nombre de nombres impairs ne change donc jamais.

Comme il y en a 1001 au départ, il ne peut en rester qu'un à la fin.

Le dernier nombre est donc impair.

Autre manière de voir : la parité du nombre de nombres pair varie à chaque fois.
Il y en a 1001 au départ (impair) La parité va changer 2001 fois. Il y a donc un nombre pair de nombres pairs à la fin, soit aucun.

L00ping007 · #15

Les opérations agissent sur les nombres ainsi :
1. la différence entre 2 nombres impairs est un nombre pair : on enlève 2 nombres impairs et on ajoute un nombre pair.
2. la différence entre 2 nombres pairs est un nombre pair : on enlève un nombre pair.
3. la différence entre un nombre pair et un nombre impair est un nombre impair : on enlève un nombre pair.

On remarque que toutes les opérations ne modifient pas la parité du nombre de nombres impairs (invariant)

Comme au départ on en a 1001, il y aura toujours un nombre impair de nombres impairs. Ce qui fait que lorsqu'on a un seul nombre restant, il est impair.

NB: on arrive forcément à un seul nombre, car on supprime un nombre à chaque opération.

scarta · #16

Au final, quand on y pense, ça revient à faire deux additions de 1001 termes chacune, puis de soustraire les deux résultats. Ajouter ou soustraire un chiffre pair (ou impair) ne change pas la parité du résultat, on a donc qu'a additionner tout ça pour voir : 1+2+...+2002 = 1001*2003, qui est impair

rivas · #17

Pair - Pair = Pair
Impair - Impair = Pair
Impair - Pair = Impair

La parité du résultat dépend donc uniquement du nombre de nombres impairs dans la liste. S'il y en a un nombre impair, le résultat est impair sinon le résultat est pair.

Or de 1 à 2002 il y a 1001 nombres impairs. Le résultat est donc impair (ce que valide la case réponse).

Merci pour cette énigmette.

kosmogol · #18

"Enigmette"

Et bam dans ta.....^^ lol

dirait un certain sh...

rivas · #19

Désolé pour l'emploi du mot "énigmette". Je n'avais pas l'intention d'être hautain ou méprisant.

kosmogol · #20

Pas de problème pour moi.

gasole · #21

Et l'énigmette devenait énigme s'il s'agissait de prouver qu'on peut obtenir n'importe quel nombre impair ce que je suis le seul (la la la la la) à avoir fait bande de flemmards !

rivas · #22

Flemmard, flemmard ???
Je viens de me prendre la tête à faire un beau dessin pour l'énigme de looozer d'équilibre précaire
Mais bon tu as raison, j'aurais pu creuser un peu plus cette éngime...

gasole · #23

Tu n'es pas le seul

L'énoncé aurait mérité d'être plus ambitieux plutôt.

shadock · #24

Bravo à tous dommage pour Mathias mais ce n'est pas grave il (tu) s'en remettra
Gasole veut des énoncés plus ambitieux, et bien si le prochain est de moi promi(s ou t ??? je ne sais jamais. Je penche pour le s)

Shadock

kosmogol · #25

Il te faudrait aussi un minimum d'ambition en orthographe.
Moi je dis ça...

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#1 - 26-03-2011 01:23:22

Paair ou impair ?

#0 Pub

#2 - 26-03-2011 08:39:04

Par ou impair ?

#3 - 26-03-2011 09:51:21

Pair ou impari ?

#4 - 26-03-2011 10:16:20

Pair o uimpair ?

#5 - 26-03-2011 10:50:22

pair iu impair ?

#6 - 26-03-2011 11:57:18

Pair ou immpair ?

#7 - 26-03-2011 11:58:57

pair iu impair ?

#8 - 26-03-2011 16:16:30

paor ou impair ?

#9 - 26-03-2011 18:52:43

Pair ou impai r?

#10 - 26-03-2011 21:50:33

Pair ou imppair ?

#11 - 26-03-2011 23:47:03

pair ou impzir ?

#12 - 27-03-2011 06:09:43

paor ou impair ?

#13 - 27-03-2011 11:39:35

paor ou impair ?

#14 - 27-03-2011 11:40:38

pair pu impair ?

#15 - 27-03-2011 11:48:11

Pair ou impaair ?

#16 - 27-03-2011 12:10:44

Pair ou immpair ?

#17 - 28-03-2011 11:31:18

Pair ou impiar ?

#18 - 28-03-2011 14:27:18

Pair ou impair

#19 - 28-03-2011 14:58:55

pair pu impair ?

#20 - 28-03-2011 15:16:00

Pir ou impair ?

#21 - 28-03-2011 15:38:54

pair ou impaor ?

#22 - 28-03-2011 15:45:59

Pai rou impair ?

#23 - 28-03-2011 15:53:23

aPir ou impair ?

#24 - 28-03-2011 19:03:43

Pai ou impair ?

#25 - 28-03-2011 20:04:51

Pair ou impairr ?

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