C'est 7 !
Welcome back :-)

Celle-ci est simple, son explication aussi. Looozer et L00ping: OK !

Nombres entiers, sauf zéro.

Si je ne m'abuse, on ne sait exprimer aucune des 2 sommes ?
(fonction zêta de Riemann a puissance impaire)

La somme des inverses de cubes de nombres impairs est toujours superieure a la somme des inverses de cubes de nombres pairs, pour la simple raison que 1 donne un avantage considerable au depart.

Je ne pensais pas que ce petit problème vous collerait...

Primo, les deux séries convergent (important). La somme des 1/(2k)^3 vaut 1/8 de la somme des k^3. Donc, la somme des 1/(2k+1)^3 vaut 7/8 de la somme des k^3.

Il y a donc un rapport de 7. Etonnant !

[TeX]
\sum_{n\ pair}\frac{1}{n^3}=\sum_{k=1}^{+\infty}\bigg(\sum_{m\ impair}\frac{1}{(2^k.m)^3}\bigg)
=\bigg(\sum_{m\ impair}\frac{1}{m^3}\bigg).\bigg(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{8^k}\bigg)
=\bigg(\sum_{m\ impair}\frac{1}{m^3}\bigg).\frac{1}{7}
[/TeX]
C'est le retour du chiffre fétiche...

[TeX]\sum \frac 1 {n^3}=\sum \frac 1 {pair^3}+\sum \frac 1 {impair^3}[/TeX]
[TeX]\sum \frac 1 {n^3}=8 \sum \frac 1 {pair^3}[/TeX]
donc [latex]\sum\frac 1 {impair^3}=7\sum \frac 1 {pair^3}[/latex]

J'appelle S1 la série avec les impairs et S2 celle avec les pairs.

8*S2 vaut la série avec les pairs et les impairs, donc S1+S2.

donc S1 = 7*S2

La réponse est 7.

Les savants noteront que S2 =zeta(3)/8, mais c'est une autre histoire.

On doit donc comparer
[TeX]S_1 = \sum_{i=1}^{+ \infty} \frac{1}{(2i)^3}[/TeX]
et
[TeX]S_2 = \sum_{i=1}^{+ \infty} \frac{1}{(2i-1)^3}[/TeX]
On peut ruser (et cette ruse est délirante, d'ailleurs) : la somme des deux rassemble les pairs et les impairs, donc vaut la somme des inverses des cubes de tous les entiers
[TeX]S_1 + S_2 = \sum_{i=1}^{+ \infty} \frac{1}{i^3}[/TeX]
et [latex]2^3[/latex] fois [latex]S_1[/latex] donne la même chose, en simplifiant tous les dénominateurs ([latex]2^3[/latex] devient [latex]1^3[/latex], [latex]4^3[/latex] devient [latex]2^3[/latex], etc.) :
[TeX]8 S_1 = \sum_{i=1}^{+ \infty} \frac{1}{i^3}[/TeX]
Donc [latex]S_1 + S_2 = 8 S_1[/latex] d'où [latex]S_2 = 7 S_1[/latex].



Classe.

Attends, je n'ai peut-etre pas compris le probleme,..que veut tu dire "Combien de fois cette 2e somme est-elle supérieure à la 1ère" ?
veut tu dire:
- quel est le rapport somme-imparire / somme-paire ?
ou
- en progressant vers l'infini, combien de fois est ce que les sommes se depassent mutuellement?
J'avais reponsdu a la 2eme question, mais je soupconne que tu voulais demander la premiere...
Auquel cas la reponse est 7