Non Agid, ce n'est pas tout à fait le même problème: il n'y a ici qu'une variable carrée, au lieu de 2 dans ta référence.
Il m'arrive parfois, faute d'inspiration, de faire connaitre un problème déja proposé, j'ai quelques bonnes sources à disposition, mais je la cite autant que possible.
Mais je préfère de loin poser une question originale, venue d'une manip perso. Cette question en est une. Parfois, bien entendu, la question peut être connue parce que trop scolaire ou trop généraliste.
En général, mes questions font rarement appel à l'informatique, étant moi- même ignorant en matière de programmation. Cette question là relève de la pure arithmétique, l'informatique ici étant parfaitement inefficace.

Salut Nodgim

J'ai été élevé à l'école Bourbaki :

Peut-on trouver un entier a tel que toute puissance de 2 ait un multiple dans l'ensemble [latex]\{n^2+a : n\in \mathbb{N}\} [/latex] ?

Vasimolo

On peut tirer du probleme que j`ai signale la solution a ton enigme puisqu`on a les puissances de 2. Une simple question d`arithmetique.
Sinon pour les multiples des puissances de 2 tu as entre autres les nombres de Sierpinski qui sont de la forme N=k*2^n + 1
Comme Nest un impair compose, le reste se deduit.
Bref, je suis decu.
On a toutes les equations diophantiennes a solutions connues et autres equations diverses (geometrie, trignonometrie,analyse, probas etc...) qui peuvent servir de point de depart a une enigme. Une infinite d`equations a solutions connues!!! Et certains minus  vont copier-coller!!!! Il suffit de partir du monde reel, formaliser et remonter la pente jusqu`a l`equation voule.
Je sors!

Pas forcément 2 facteurs premiers distincts, masab. La question est de savoir si, pour un "a" donné, il existe un n tel que n²+a est divisible par une puissance de 2 aussi grande que l'on veut.
Par exemple n² + 11 peut il être divisible par 16 ou 32 ou... ?

Si j'ai bien compris ta question ( il y a un problème avec les quantificateurs ) , tu demandes quels sont les entiers a pour lesquels -a est toujours un résidu quadratique dans [latex] \mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z}[/latex] quel que soit la valeur l'entier naturel k .

Vasimolo

On trouve aisément sur wiki , les résidus quadratiques modulo [latex]\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z}: 0 \text{ et } 4^k(8m+1)[/latex] . [latex]a=0[/latex] est une solution évidente , et j'ai bien l'impression qu'aucune des autres ne fonctionne

Vasimolo

nodgim a écrit:

Problème du genre qui te plait, il me semble.

Pas vraiment en fait , j'ai répondu parce que je ne comprenais rien à la question . Sans blaguer , ces exercices purement formels ne m’intéressent plus vraiment ( c'est l'âge ) . Cette question est peut-être issue d'un problème concret que tu t'es posé et qui pourrait m'intéresser ( et me motiver ).

Je me souviens m'être posé ce genre de questions quand je m’énervais sur la conjecture de Syracuse ( passion que nous avons eu en commun , il me semble ) .

Vasimolo

J'imagine qu'il faut préciser a non nul?
Parce qu'avec a nul on a au moins une solution en posant n=2^k.

Cordialement

Clairement, pour a congru à 1 ou 2 modulo 4, c'est impossible.

Un examen rapide des autres cas laisse à penser qu'on peut y arriver pour une valeur de a de la forme 2^r - 1 (r>=2) avec une méthode de construction du n en fonction de k.

Il faudrait alors regarder en détail afin d'identifier d'éventuels cas supplémentaires..

Avec a=2^r-1 il faut n tel que n² congru à 1-2^r modulo 2^k.

On peut considérer k suffisamment grand, puisque si ça marche pour ce k, c'est bon pour toutes les valeurs inférieures.
Et il existe une façon générale de construire un entier dont le carré est congru à 1-2^r modulo 2^k.

Par exemple si r=3, donc a=2³-1=7, on trouve:

pour k=8, n²=(1-2²-2³-2⁶)² et le développement donne 1-2³ modulo 2⁸, (une solution est n=181)
pour k=9, n²=(1-2²-2³-2⁶)² et le développement donne 1-2³ modulo 2⁹ (une solution est n=437)
pour k=10, n²=(1-2²-2³-2⁶-2⁸)² et le développement donne 1-2³ modulo 2^10 (une solution est n=693)
pour k=11, ainsi de suite...

Je ne pense pas que mon schéma soit le même. Je suppose que la solution est plus astucieuse que ce schéma un peu casse-tête...

Il me semble avoir un début de réponse mais comme je suis dans la peinture jusqu'au cou , j'ai un peu de mal à aligner quelque chose de propre

Dans le cas ou a est impair , il me semble que par récurrence on peut monter que les seules valeurs de a qui conviennent sont celles qui sont congrues à 7 modulo 8 . Le cas où a est pair doit se ramener au cas précédent en faisant un peu attention : j'en suis là .

Vasimolo

Mais je suis bête! Si on trouve a impair qui vérifie la propriété, alors 4a marche aussi. Donc il suffit de se concentrer sur a impair...

Et oui, je me disais bien que ça allait être compliqué à généraliser, ce dans quoi je m'étais lancé.