67/149 est légèrement plus près de 2/5 que de 3/6, donc plutôt 2 blanches, mais il y a peut être un piège....

@Vasimolo : en effet. Mais un raisonnement bien plus simple amène à la conclusion inverse, le vois-tu ?

@nodgim : bien vu pour les deux interprétations, c'est en effet cela, la question posée. Quelle est la bonne ? En ce qui concerne ta conclusion, d'une part, 3% ce n'est pas si rare, et de toute façon, raisonnons en mathématiciens : si c'est différent de zéro, alors ça n'est pas impossible. Et dans ce cas, quel est le choix qui donne une meilleure chance de réussite ?

Il y a sûrement plusieurs interprétations , mais la question n'est pas vraiment claire

"Quel le nombre de boules blanches dans l'urne le plus probable ?"

Vasimolo

@nodgim : au début, je pensais comme toi. Mais voici un argument qui me fait douter.

Spoiler : [Afficher le message] Imaginons que l'urne ait été préalablement remplie par un robot qui, 2 fois sur 3, met 2 boules blanches, et 1 fois sur 3, met 3 boules blanches. Alors, si tu refais le calcul, tu obtiens qu'il est plus probable, sachant qu'on a obtenu 67 boules blanches, d'être dans le cas où il y a 2 boules blanches.

Ton deuxième calcul repose implicitement sur l'hypothèse que le cas où l'urne contient 2 boules blanches, et celui où elle contient 3 boules blanches sont équiprobables. Sauf qu'on ne connaît pas leurs probabilités réelles. Dire que c'est 1/2, n'est-ce pas comme dire qu'on a une chance sur deux de mourir de la chute d'une météorite, et une chance sur deux de mourir d'autre chose ?

Et dans ces conditions, ton premier calcul ne serait-il pas finalement plus raisonnable ?

Bon d'accord , on est dans le Monthy-Hall ou le M et Mme ont deux enfants , un garçon ouvre la porte ...

C'est évidemment sans réponse .

Il ne manquait pas un verbe à ta question ?

Vasimolo

Non , j'ai cherché des choses compliquées en me disant que chercher la probabilité du tirage dans l'urne 3N+3B ne pouvait être comparée à celle de l'urne 3N+2B . En fait ça marche très bien . Je me suis laissé déstabiliser par ta remarque avec un résultat inverse mais je vois l'idée maintenant ( je n'y avais pas pensé une seconde ) . Dans une des urnes on a plus de chance de tirer une majorité de boules noires alors que dans l'autre les chances sont égales . Comme on a tiré plus de boules noires , il y a de grandes chances pour que l'on n'ait que deux boules blanches .

Je marche toujours sur des œufs dans ces problèmes de proba , tellement les résultats sont souvent contre-intuitifs .

Vasimolo

@tous : je pense que tout le monde a plus ou moins vu le côté paradoxal de la situation. D'un côté, la fréquence de boules blanches est f = 67/149 ≈ 0,4497, soit légèrement plus proche du cas à deux boules blanches (p = 0,4) que du cas à trois boules blanches (p = 0,5).

De l'autre, si on considère une urne contenant deux boules blanches, quand on effectue 149 tirages, la probabilité d'obtenir 67 boules blanches vaut ≈ 0,030779 ; si  on considère une urne contenant trois boules blanches, quand on effectue 149 tirages, la probabilité d'obtenir 67 boules blanches vaut ≈ 0,030786. Cette fois-ci, c'est le cas à trois boules blanches qui paraît le plus probable.

Pour beaucoup d'entre nous, le deuxième raisonnement paraît plus sérieux. Pourtant, il recèle une faiblesse. Imaginons que l'urne ait été préalablement remplie par un robot qui, 2 fois sur 3, met 2 boules blanches, et 1 fois sur 3, met 3 boules blanches. Alors, si on refait le calcul, on obtient qu'il est plus probable, sachant qu'on a obtenu 67 boules blanches, d'être dans le cas où l'urne contient 2 boules blanches (la probabilité est très légèrement inférieure à 2/3).

Vous me rétorquerez : oui, mais pourquoi 2/3 et 1/3 ? Ce à quoi je répondrai : oui, mais pourquoi 1/2 et 1/2 ? Car dans notre deuxième raisonnement, on fait comme si les cas «l'urne contient 2 boules blanches» et «l'urne contient 3 boules blanches» étaient équiprobables. Or, on n'en sait rien.

Voilà où j'en suis dans mon raisonnement, je n'arrive pas plus loin. J'ai l'impression qu'on a beau tirer autant de boules que l'on veut, on ne sera jamais capable de dire quel est le contenu le plus probable ; et que même en obtenant plus de boules blanches que de noires, on ne peut pas conclure que le cas 3-3 est le plus probable, faute de connaître les probabilités des cas 2-3 et 3-3.

Si quelqu'un a quelque chose de sensé à opposer à ce salmigondis, ce sera accueilli avec plaisir

@TOUFAU : c'est ce qu'il me semble aussi. Mais ça me pose un problème de conscience.

Est-ce que par extension, tout problème d'estimation est infaisable ? Par exemple, quand on lance 10000 aiguilles de Buffon pour estimer π, peut-on en déduire un résultat du genre «il y a 90 % de chances que π soit dans l'intervalle [a;b]», ou ne peut-on rien déduire du tout ?

En fait n’est-ce pas un sujet lié à la connaissance – ou l’absence de connaissance – des conditions de l'expérience ?
Dans le cas des aiguilles de Buffon, le raisonnement marche parce qu’on considère que ces conditions sont bien maîtrisées. Si on utilise un robot qui les jette toutes de la même façon, ou avec un biais, le résultat ne fera sans doute pas apparaître un truc en rapport avec Pi.

Dans ton exemple, on sait qu’il y a 3 boules noires à l’origine. Mais si tu me dis qu’il y en a possiblement 4, je vais trouver une probabilité non nulle que ce soit vrai, faute de connaissance des conditions initiales (ou trompé par l’ennemi dans ce cas 😊). 

Et dans le mien (2 boules blanches sauf si toutes les planètes sont alignées), je ne doute pas qu’un physicien connaissant la probabilité de l’évènement, allié avec un mathématicien féru de proba, sauraient définir combien de tirages sont nécessaires pour rendre l’observation des tirages pertinente (sans doute un très grand nombre)
Pour résoudre le problème, ne peut-on pas considérer que celui qui tire les boules dans l’urne va vite sentir au toucher s’il y a 5 ou 6 boules (ça fait partie des conditions de l'expérience après tout...), et ainsi nous simplifier la vie ?

Pas mieux.

Salut !

Hypothèse 1 : il y a 3 boules blanches.
P(X=67) = (67 parmi 149)*(1/2)^67*(1-1/2)^(149-67) = 3,0786 % environ

Hypothèse 2 : il y a 2 boules blanches.
P(X=67) = (67 parmi 149)*(2/5)^67*(1-2/5)^(149-67) = 3,0779 % environ

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Je viens de lire vos messages et je me rend compte que je viens de faire ça pour rien, je le laisse quand même.
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Pour essayer de faire avancer le schmilblick, voici le fruit de ma réflexion face à l’ambiguïté :

Exagérons le phénomène : Un sac contient 2 boules noires et n boules blanches.
J'en tire 100 et je tombe 52 fois sur une noire.
=> Je suppose donc qu'il y a 2 blanches.
Mais non, je peux vous dire qu'il y a dans le sac soit 1, soit 3 blanches..., alors ?
Si 1 noire : 0,15% de chance
Si 3 noires : 0,26% de chance
Ben du coup même si c'est peu probable, je choisi 3 noires (surtout si il y a 1000€ à gagner), c'est la réponse la plus probable des 2.
Je ne vois pas dans cette situation la question : imagine qu'un robot...
Forcément, si tu ajoutes des conditions, le problème n'est plus le même !

Dans le calcul que j'ai fait ici je n'ai jamais supposé qu'il y avait une chance sur 2 qu'il y ait 1 blanche et 1/2 qu'il y en ait 3. Cette donnée n'apparaît nulle part.
Comme pour le problème des 2 enfants dont l'un ouvre la porte, une info supplémentaire modifie le résultat.

Du coup, avec les infos que j'ai pour revenir à ta question de départ, j'ai tendance à choisir le cas 3 blanches, faute d'information complémentaire, car c'est celle qui maximise les probabilités.

Bon, après relecture je ne suis pas sûr d'avoir fait avancer grand chose... mais dans ma tête c'est clair pourtant ! (même si comme pour certains d'entre vous, les probas ne me réussissent pas toujours )