Pour [latex]n=100[/latex] on obtient instantanément (en programmant)       
[TeX]m=9801=(n-1)^2[/latex]  minutes.

Détaillons le cas [latex]n=8[/latex] à titre d'exemple.

                  [latex]A=
\begin{pmatrix}
0&\frac{1}{2}&0&0&0&0&0&0\cr
1&0&\frac{1}{2}&0&0&0&0&0\cr
0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&0&0&0&0\cr
0&0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&0&0&0\cr
0&0&0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&0&0\cr
0&0&0&0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&0\cr
0&0&0&0&0&\frac{1}{2}&0&0\cr
0&0&0&0&0&0&\frac{1}{2}&0\cr
\end{pmatrix}[/TeX]
[TeX]I_8-A=
\begin{pmatrix}
1&-\frac{1}{2}&0&0&0&0&0&0\cr
-1&1&-\frac{1}{2}&0&0&0&0&0\cr
0&-\frac{1}{2}&1&-\frac{1}{2}&0&0&0&0\cr
0&0&-\frac{1}{2}&1&-\frac{1}{2}&0&0&0\cr
0&0&0&-\frac{1}{2}&1&-\frac{1}{2}&0&0\cr
0&0&0&0&-\frac{1}{2}&1&-\frac{1}{2}&0\cr
0&0&0&0&0&-\frac{1}{2}&1&0\cr
0&0&0&0&0&0&-\frac{1}{2}&1\cr
\end{pmatrix}[/TeX]
[TeX](I_8-A)^2=
\begin{pmatrix}
  \frac{3}{2}&-1&\frac{1}{4}&0&0&0&0&0\cr
-2&\frac{7}{4}&-1&\frac{1}{4}&0&0&0&0\cr
\frac{1}{2}&-1&\frac{3}{2}&-1&\frac{1}{4}&0&0&0\cr
0&\frac{1}{4}&-1&\frac{3}{2}&-1&\frac{1}{4}&0&0\cr
0&0&\frac{1}{4}&-1&\frac{3}{2}&-1&\frac{1}{4}&0\cr
0&0&0&\frac{1}{4}&-1&\frac{3}{2}&-1&0\cr
0&0&0&0&\frac{1}{4}&-1&\frac{5}{4}&0\cr
0&0&0&0&0&\frac{1}{4}&-1&1\cr
\end{pmatrix}[/TeX][TeX](I_8-A)^{-2}=
\begin{pmatrix}
231&224&205&176&139&96&49&0\cr
448&436&400&344&272&188&96&0\cr
410&400&370&320&254&176&90&0\cr
352&344&320&280&224&156&80&0\cr
278&272&254&224&182&128&66&0\cr
192&188&176&156&128&92&48&0\cr
98&96&90&80&66&48&26&0\cr
50&49&46&41&34&25&14&1\cr
\end{pmatrix}[/TeX]
Par suite pour [latex]n=8[/latex] on a

                     [latex]m=(I_8-A)^{-2}[8,2]=49=(n-1)^2[/latex]  minutes

Le parcours du voyageur commence dans le wagon n°1: on a t0 = t(1) = 0. Puis il n'a pas d'autre choix que d'aller dans le wagon n°2, puisqu'il n'y a pas de wagon n°0: on a t(2) = 1 qui est la durée exacte (même pas moyenne). Après pour aller dans le wagon n°3, ça se complique ...

Moi, c'est la seule que je comprenne !

@masab
Il peut y avoir un nombre de wagons supérieur à n et t(n) est alors le temps moyen mis pour que le voyageur parti du wagon 1 arrive au wagon n pour la première fois. Après, si le voyageur n’a pas envie de s’asseoir, la SNCF dégage toute responsabilité sur la suite de son parcours.
Je ne comprends pas vraiment ce qui te chiffonne, mais tu as probablement de bonnes raisons de douter.

@nodgim
Au début, en tâtonnant, j’avais calculé t(3) comme une succession de temps imbriqués les uns dans les autres, comme suit:
t(3) = 1 + 0,5 + 0,5.(2 + 0,5 + 0,5.(2 + 0,5 + 0,5.(2 + 0,5 + 0,5.(2 + 0,5 + 0,5…. ))))
=> t(3) + 1 = 2,5 + 0,5.(2,5 + 0,5.(2,5 + 0,5.(2,5 + 0,5.(2,5 + 0,5.… ))))
=> t(3) + 1 = 2,5 + 0,5.(t(3) + 1) => t(3) = 4
A partir de t(4), ça devient vraiment coton et j’ai essayé de généraliser.

Nous avons vu que pour atteindre le wagon n°k la promenade moyenne dure [latex](k-1)^2[/latex] minutes.

Mais que se passe-t-il si l'on change légèrement la probabilité de monter dans le wagon

supérieur en la faisant passer, par exemple, de [latex]\frac12[/latex] à [latex]\frac13[/latex] ?

si il doit passer dans le train autant de temps que je passe sur l’énigme 25c, je rejoindrais l'esprit de Fernand Raynaud en disant ""un certain temps""

Cela revient par symétrie à passer de t(x) à t(x+1) à l'extrémité opposée du trin et comme le calcul est le même, je ne vois pas où est le problème.

@enigmatus : merci pour les estimations !

nodgim a écrit:

Quand on passe de t(n) au t(n-1) on laisse en plan le fait que pour le calcul de t(n-1), on n'a pas pris en compte les mouvements dégressifs. En effet, le temps moyen pour accéder à un wagon est tjs compté à partir du wagon précédent depuis l'origine, jamais à partir d'un wagon à reculons. Donc utiliser t(n-1) à partir de t(n) me semble peut être un peu abusif. Qui se lance pour lever ce doute ?

Peu importe comment on a atteint le wagon n-1 une fois qu'on y est.

Pour [latex]i\leq j[/latex], on note [latex]t_{i,j}[/latex] le temps moyen pour atteindre le wagon j pour la première fois en partant du wagon i. Et peu importe comment on a fait pour se retrouver au wagon i, qu'on l'ait déjà dépassé ou pas... Tu vois bien que ce qui importe ce n'est pas le passé mais l'avenir. C'est beau cette phrase.

On voit alors que
[TeX]t_{i,j}+t_{j,k}=t_{i,k}[/latex] pour tous [latex]i\leq j \leq k[/TeX]
Ce qui donne en particulier [latex]t_{1,n-1}+t_{n-1,n+1}=t_{1,n+1}[/latex]

et donc [latex]t_{n-1,n+1}=t_{1,n+1}-t_{1,n-1}=t(n+1)-t(n-1)[/latex]

Voilà, la formule utilisée par Franky n'a rien d'abusif.

Ma méthode matricielle se généralise aussi avec la probabilité [latex]p[/latex] d'aller au wagon suivant et [latex]1-p[/latex] d'aller au wagon précédent.
On obtient aisément comme moyenne en minutes des temps mis pour atteindre le wagon 20
[TeX]\mathrm{Moyenne}(p) = (p^{18} + 90 p^{16} - 480 p^{15} + 1920 p^{14} - 5712 p^{13}[/TeX]
[TeX]+ 13188 p^{12} - 24144 p^{11} + 35544 p^{10} - 42400 p^{9} + 41092 p^8[/TeX]
[TeX]- 32288 p^7 + 20424 p^6 - 10264 p^5 + 4010 p^4 - 1176 p^3[/TeX]
[TeX]+ 244 p^2 - 32 p + 2)/p^{18}[/TeX]
D'où
[TeX]\mathrm{Moyenne}(1) = 19[/TeX]
[TeX]\mathrm{Moyenne}(1/2) = 361[/TeX]
[TeX]\mathrm{Moyenne}(2/3) = 6946817/131072 = 53.00000762939453125000000000[/TeX]
[TeX]\mathrm{Moyenne}(1/3) = 2097091[/TeX]
Voilà !

Reste plus qu'à trouver la formule pour k quelconque. Commencez peut-être avec [latex]p=\frac13[/latex] avant d'attaquer le cas p quelconque.

Étant données les premières valeurs de la suite, on a envie de dire qu'en gros ça double pour passer d'un terme au suivant...

Bien joué Franky.

Pour résoudre ce genre d'équations, une bonne méthode consiste à résoudre d'abord l'équation homogène [latex]t(n)=2t(n-1)[/latex].
On ne s'occupe pas de la condition initiale pour l'instant.
Puis tu cherches une solution particulière de l'équation avec second membre sous la forme d'un truc qui ressemble au second membre en général (ici un polynôme de degré 1). Les solutions de l'équation avec second membre sont les solutions de l'équation homogène auxquelles tu ajoutes la solution particulière. Finalement la condition initiale te permet de trouver la solution qui correspond au problème.