2-3-5

du moins, ça se valide dans la case réponse

Bonjour Franky

En coupant un carré en quatre on ajoute 3 pièces au puzzle ce qui incite à regarder modulo 3 . On peut trouver facilement un puzzle à 1 , 6 ou 8 pièces ce qui règle le cas de tous les puzzles à plus de 5 pièces .

Il n'y a plus qu'à montrer que 2 , 3 et 5 sont impossibles

Vasimolo

2-3-5 !
Quant à prouver que ce n'est pas possible pour 5...

Bonjour

c'est possible pour 6, 7 et 8 :



ensuite il suffit de couper un carré en 4 pour obtenir un nouveau puzzle avec trois pièces de plus. En itérant cette méthode autant de fois que nécessaire, on peut obtenir des puzzles respectivement à 3k+6 pièces, 3k+7 pièces et 3k+8 pièces (et ce pour tout k). Autrement dit il est possible d'avoir un puzzle à n pièces pour tout 6 <= n. Pour des puzzles à 1 et 4 pièces c'est très facile. Il ne reste plus que 2, 3 et 5 pièces pour lesquels c'est impossible.

Merci, j'ai bien aimé ce problème

1) On voit qu'on peut réaliser 1 (dur le puzzle !) mais qu'on ne peut réaliser 2, 3, 5 : chaque coin du grand carré doit être occupé par un petit carré, ce qui mène facilement à des impossibilités.

2) Tout nombre pair n>=4 se réalise ainsi :
n=2k avec k >= 2 : on dispose dans un carré de côté k : 1 carré de côté k-1 et 2k-1 carrés de côté 1

3) D'autre part, si n se réalise, alors n+3 aussi, en coupant un carré en 4.

4) D'après 2) et 3), tout nombre impair n>=7 se réalise.

Conclusion : Les nombres impossibles sont 2, 3 et 5.

Voici une démonstration rigoureuse et détaillée :

On suppose qu'il existe un puzzle carré fait de 5 pièces carrées.

1) Chacun des 4 coins du puzzle est occupé par un carré différent.

2) Le 5ème carré est placé contre un bord :
Supposons le contraire. On appelle c1, c2, c3, c4 les côtés des carrés en coin. Alors, on devrait avoir c1+c2 = c2+c3 = c3+c4 = c4+c1, donc c1=c3 et c2=c4. On prend comme unité de mesure le côté du puzzle. Pour que les carrés disposés dans des coins opposés ne se chevauchent pas, il faut c1<=1/2 et c2<=1/2. Ce qui force, avec c1+c2=1, à avoir c1=c2=1/2=c3=c4. Il ne reste alors plus de place pour le 5ème carré. C'est absurde.

3) On appelle c5 le côté du carré placé au bord, disons entre les carrés de côté c1 et c4. On obtient alors :
c1+c2=c2+c3=c3+c4=c4+c5+c1, ce qui donne c1=c3 et c2=c4 donc c5=0
C'est absurde. CQFD.

Les puzzles 3D sont à la mode

Et si on remplace les carrés par des cubes ?

Vasimolo