Enigme Une somme simple de cette année 1/2 @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjour à tous,
La somme des chiffres de 2015 valant 8, voici une petite question pas trop méchante.
S1=8
S2=8+88=96
S3=8+88+888=984
combien de chiffres comporte Sn ? Justifier.

Calculer S2015 le plus élégamment possible.

enigmatus · #2

Bonjour,

Sn comporte n chiffres.

n est un minimum, car le dernier terme contient n chiffres, et la somme est majorée par
9 + 90 + 900 + ... + 90...0
qui est constituée de n chiffres 9.

Je réfléchis à la seconde question.

Ajouté : Voilà

Code:

Sn = 8/9*(9 + 99 + ... + 99...9)
Sn = 8/9*(10-1 + 100-1 + ... + (10**n)-1)
Sn = 8/9*( 11...10 - n )
Sn = 8/9*( 10/9*(99...9) - n )
Sn = 8/9*( 10/9*((10**n)-1) - n )

Il vaut mieux faire le calcul ainsi pour ne manipuler que des nombres entiers

Code:

((10**n-1)*10/9-n)*8/9

unecoudée · #3

salut.

si je somme 8 + 88 + 888 +....+888..888 , le dernier nombre contenant 2015 fois le chiffre 8
alors :
S2015 = 8/9 x [ 10/9 x (10^2015 - 1) - 2015 ] nombre de 2015 chiffres

formule générale :

Sn = 8/9 x [ 10/9 x (10^n - 1) - n ]

ex: S6 = 8/9 x [ 10/9 x (10^6 - 1) - 6 ] = 987648 ( nombre de 6 chiffres)

le terme majorant est 80/81 x 10^n contenant n chiffres puis on retranche à ce nombre :
80/81 + 8/9 x n

le nombre résultant conserve donc ses n chiffres

nodgim · #4

Unecoudée, mais encore ?
Je ne demande pas d'écrire S2015 en entier mais de façon plus explicite.
Sinon, pour la 1ère question, c'est OK.

gwen27 · #5

je dirais que c'est 8/9 de 9+99+999.... dont la solution est classique.

111111..... -n soit (10^(n+1) -1) /9 -n

shadock · #6

$https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cdpi%7B120%7D%20%5CLARGE%20S_%7B2015%7D%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B2015%7D%5Cleft%20%28%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%208%20%5Ctimes%2010%5Ek%5Cright%20%29$

portugal · #7

Notons An=Sn-S(n-1)

Montrons que pour tout n 10^(n-1)<Sn<10^n
1<S1<10 --->vrai au rang 1
Hypothèse : vrai au rang n : 10^(n-1)<Sn<10^n
entraine 10^(n-1)+A(n+1) <S(n+1)<10^n+A(n+1)
entraine A(n+1)<S(n+1) <10^n + 9*10^n
entraine 8*10^n <S(n+1)<10^(n+1)
la propriété en hypothèse est donc vrai au rand n+1 donc à tout rang

Sn a donc toujours n chiffres en écriture décimale entière

De plus,
An= 8 *[ Somme pour k de 0 à n-1 de 10^k] d'ou en simplifiant avec formule classique
An = 8 / 9 * (10^n - 1 )
Or, Sn= [Somme de 1 à n de An]
Donc Sn = 8/9 * ( [somme de 1 à n de 10^k] - n )

En faisant attention au fait que la somme commence au terme 1 et non pas au terme 0 comme dans la formule de base on a donc :

Sn = 8/81 * ( 10^(n+1)-10 - 9n)

Donc S(2015) = 8/81 * (10^2016 - 18145 )

nodgim · #8

Même question à Shadock et Portugal, et pour tous: en chiffres sonnants et trébuchants, ça donne quoi ?
Comme j'ai écrit 8+88=96 et 8+88+888=984, je voudrais bien voir le nombre écrit avec des chiffres en écriture décimale.

shadock · #9

Code:

S(2015)=9876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543210

C'est mieux comme ça?

nodgim · #10

C'est à peu près ce que je demande, sauf que tu n'es pas obligé de l'écrire en entier (pitié pour le format de largeur). Du reste, ce n'est pas bon. Et puis, tu ne dis pas comment tu l'as obtenu (à la main) ?

enigmatus · #11

Le nombre S2015 est constitué de :
223 séquences de 987654320
suivies de 98763640

Calcul effectué en python.

Ajouté :
En complément de la formule générale pour Sn donnée en #2, voici pour le cas particulier de 2015 :

Code:

S2015 = ( 10**2016 - 18145 ) * 8 / 81

dbab3000 · #12

On considère la fonction f qui donne le nombre de chiffres d'un nombre quelconque
Exemple:
f(S₁)=1
f(S₂)=2
f(S₃)=3

Sn comporte n chiffres
On va le justifier par récurrence
Mq ∀n⋲N f(Sn)=n
Pour n=1 f(S₁)=1
Supposons que ∀n⋲N f(Sn)=n
montrons que f(S(n+1))=n+1
S(n+1)=Sn+8888.....(n+1 fois)
On sait que f(A+8888.....(n+1 fois))=n+1 si f(A)<n+1
f(Sn)=n est n<n+1
alors f(Sn+8888.....(n+1 fois))=n+1
ce qui implique que f(S(n+1))=n+1
Donc ∀n⋲N f(Sn)=n
Sn comporte n chiffres

On a
S₁=8
S₂=8+88=8+(80+8)=2×8+1×80
S₃=8+88+888=8+(80+8)+(800+80+8)=3×8+2×80+1×800

Alors Sn=Somme (de k=0 à k=n−1 ) 8(n−k)×10^k
Donc S₂₀₁₅=Somme (de k=0 à k=2014) 8(2015−k)×10^k
On peut faire une approximation et écrire S₂₀₁₅=10²⁰¹⁵

Bonne soirée.

portugal · #13

Edit : Je n'ai pas simplifié le process mais ai refait pour que cette dernière étape soit plus simple à suivre. Je pense que pour simplifier il faudrait repartir plus en amont et ne vois pas comment simplifier à partir de ce point de départ. Est ce possible ? (pas le courage de repartir à zéro)

On repart de S(2015) = 8/(9*9) *(10^2016 - 18145)

10^2016 - 18145 s'écrit 9...9 (2011 fois) suivi de 81855

Donc 1/9 * (10^2016 - 18145 ) s'écrit 1..1 (2011 fois ) suivi de 09095
et 8/9*(10^2016 - 18145 ) s'écrit 8...8 (2011 fois) suivi de 72760

On remarque que 8...8 (9 fois ) / 9 = 098765432

La division de 211 par 9 donnant 223 (reste 4), on a en prenant des paquets de 9 "8" les un derrière les autres (en séparant les 3 derniers 8 ainsi que les 5 chiffres finaux)

8/9*(10^2016 - 18145 ) /9 s'écrit 098765432 (223 fois) suivi de 888872760/9

D'où Sn s'écrit 098765432 (223 fois) suivi de 098763640

En écriture décimale simplifiée, Sn s'écrit 987654320 (233 fois) suivi de 98763640

Très sympa comme problème. Merci à tous ceux qui animent ce site. j'ai commencé les maths il y a 3 mois et je me régale par ici...Je deviens addict...

unecoudée · #14

salut.

puisque ma formule générale _ qui fonctionne _ n'a pas l'air de plaire , je propose un nombre à rallonge :

S2015 = [987654320 .... (223 fois)...987654320]98763640

nobodydy · #15

Salut

A mon niveau de compétence
il y a n chiffres à Sn.

nodgim · #16

@shadock: si tu pouvais effacer ton msg 9, ça éviterait une largeur de texte qui va de la terre à la lune, ou presque.
@Enigmatus, c'est une bonne réponse, mais sans l'aide de Python, saurais tu retrouvé ce nombre ?
@Dbab: c'est bon pour la 1ère question, mais on peut faire plus court. Pour la seconde question, on peut trouver une valeur exacte sans trop se casser la tête.
@portugal: c'est bon. perso, j'ai fait plus court.
@unecoudée: c'est bon, mais l'as tu fait à la main ?
@Nobodydy: c'est vrai, mais comment le justifies tu ?

Franky1103 · #17

nodgim a écrit:
Je voudrais bien voir le nombre écrit avec des chiffres en écriture décimale.

nodgim a écrit:
Ca éviterait une largeur de texte qui va de la terre à la lune, ou presque.

Ne serait ce pas un peu contradictoire ? En effet, ce nombre doit bien avoir au moins 2015 chiffres (et même surement plus). A moins que les petits points soient acceptés !

nodgim · #18

A partir du moment où on peut dire quels sont chacun des 2015 chiffres, d'une manière ou d'une autre, ça me convient. Pas besoin de tous les écrire. Ce ne serait d'ailleurs ni utile, ni efficace.

shadock · #19

Nodgim mon message utilise une balise "code" normalement ça ne gêne pas la présentation. En tout cas ça ne gêne pas la mienne.
Pour le calcul je l'ai fais de tête. A part le nombre de périodes

Franky1103 · #20

Par récurrence, j'arrive à démontrer que Sn comporte exactement n chiffres.
En partant à l’envers, l'écriture de S2015 est: 987654320 ……… 987654320 98763640
(223 fois 987654320, suivi d’une fois 98763640), soit 223 x 9 + 8 = 2015 chiffres.

unecoudée · #21

salut.

donc manuellement avec ma formule :
S2015 = 8/9 x [10/9 x (10^2015 - 1) - 2015 ]

le nombre (10^2015 - 1) = 999...2015fois...999

le nombre 10/9 x (10^2015 - 1) = 111...2015fois...1110

le nombre 10/9 x (10^2015 - 1) - 2015 = 111...2015fois...1110 - 2015 est donc congru à 0 (mod 9)

d'autre part , le nombre comportant 9 fois le chiffre 1 divisé par 9

1111111110 / 9 = 123456790 lequel multiplié par 8

8 x 123456790 = 987654320

par conséquent , le nombre 1111111111/9 a pour reste 1

il y a donc un cycle de nombres 987654320 223 fois exactement au bout duquel il restera le nombre:

8/9 x (111111110 - 2015) = 98763640 qui termine le nombre:

S2015 = 987654320 (223 fois) ... 98763640

j'espère avoir été suffisamment clair dans ma démo .

nodgim · #22

C'est très clair Unecoudée et c'est correct. Je donnerais ma variante à la fin.

@Francky, c'est correct également, quoique tu ne donnes pas vraiment ta méthode de comptage "à l'envers". Si tu as le temps d'en dire un peu plus, je suis preneur.

Franky1103 · #23

Ma méthode est un peu "bourrin": je me suis servi d'un bête tableur:
- je calcule les quotient et reste de la division de 8 x 2015 par 10,
- le reste 0 me donne le dernier chiffre et je reporte le quotient 1612,
- je calcule les quotient et reste de la division de 8 x 2014 + 1612 par 10,
- le reste 4 me donne l'avant-dernier chiffre et je reporte le quotient 1772,
- je calcule les quotient et reste de la division de 8 x 2013 + 1772 par 10,
- le reste 6 me donne l'avant-avant-dernier chiffre et je reporte le quotient 1787,
- etc...
- je m'aperçois qu'au bout d'un moment que c'est cyclique: 987654320,
- cette partie cyclique est d'ailleurs facilement démontrable,
- comme on sait qu'il y a 2015 chiffres en tout, on peut calculer le premier: 9.
Et voilà, "bourrin" mais efficace:

dbab3000 · #24

En remarquant que
S(n+1)=10Sn+8(n+1)
J'ai calculé jusqu'à S₂₀ et j'ai remarqué que le cycle 987654320 se répète
Ce cycle va se répéter 223 fois dans S₂₀₁₅
9×223=2007 chiffres
Ça va nous laisser 8 chiffres
D'après la première formule dans mon message:
Sn=Somme (de k=0 à k=n−1 ) 8(n−k)×10^k
8×2015=16120 est un nombre de cinq chiffres donc il y a peu de chance qu'il va affecter les 3 autres qui seront 987
On a 223 fois le cycle après on a 987 pour trouver les 5 derniers chiffres, on va calculer la somme de 8×2015+80×2014+800×2013+8000×2012+8×10⁴×2011
si on ajoute un autre terme il ne va pas affecter les 5 premiers chiffres, la somme est égale à 178763640 on prend les 5 premiers chiffres 63640
Donc S₂₀₁₅=(987654320....)₂₂₃ 98763640

Bonne soirée.

nodgim · #25

@dbab: c'est parfait pour toi aussi, bravo !
@Francky: un bon début, il ne reste quà conclure.

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