Bonjour,
Pour que le reste de la division de 2016 par n soit égal à 9, il faut que n divise 2007, et qu'il soit supérieur à 9.
2007 = 3 * 3 *223

n peut valoir 223, 669 ou 2007

2007
669
223

On doit étudier
2016 = k*x+9 avec k>9
2007 = k*x avec k>9
Or
2007 = 3*3*223

Donc les solutions sont
k = 223  ou  3*223 = 669  ou  3*3*223 = 2007

Réponse : 223 unique solution
Explication
si il reste 9, c'est qu'on doit chercher un multiple de 2016-9
c'est à dire un multiple de 2007.
2007 / 9 =223 (de tête).
223 est premier, donc, pas mieux.

On a
2016=Dx+9
Dx=2007
Alors D est un diviseur de 2007 et D ne doit pas être un diviseur de 9 sinon le reste est égale à 0
Donc D=(223,669,2007) (j'ai utilisé google pour savoir que 223 est un nombre premier )
Bonne journée.

Si l'entier recherché est n, alors n>9, et il existe un autre entier naturel q tel que 2016=nq+9, d'où nq=2007.

Comme la décomposition en produit de facteurs premiers de 2007 est 3*3*223, les valeurs possibles pour n sont 223, 669 et 2007.

2016 - 7 = 2007
2007/3 = 669
2007/9 = 223

Emmaenne: oui !
Dhrm: Pas que....

nodgim #13 a écrit:

Soit un entier n. On fait la somme Sn de tous les restes de n par les entiers 1 à n. Montrez qu'il existe une infinité de couples (n,m) tels que Sn=Sm.

Les nombres de la forme [latex]n=2^p-1[/latex] et [latex]m=2^p[/latex], pour [latex]p≥1[/latex], répondent à la question.

Les nombres de la forme [latex]2^k[/latex], pour [latex]1≤k≤p-1[/latex], divisent [latex]m[/latex]. Le reste de la division de [latex]n[/latex] par ces nombres est [latex]2^k-1[/latex], dont la somme vaut [latex]2^p-p-1[/latex].

Les restes de la division de [latex]n[/latex] et [latex]m[/latex] par les [latex]2^p-p-1[/latex] autres diviseurs de [latex]n[/latex] diffèrent d'une unité, en faveur de [latex]m[/latex].

La somme de tous les diviseurs est donc la même pour [latex]n[/latex] et [latex]m[/latex].

Pardon, j'avais raté les réponses de Halloduda pour les 2 questions, donc l'antériorité lui revient pour la 2ème question.

Halloduda, c'est correct, mais il manque un peu de justificatif...

Parfait Ebichu !

@Dhrm: pas encore complet, mais tu n'es plus loin.