Enigme Reste 1,2,3,4,5,6,7,8,9 @ Prise2Tete

aunryz · #1

Existe-t-il des nombres entiers de 10 chiffres
qui, divisés par (1 donnent pour reste 0), par 2 donnent pour reste 1, par 3 donnent pour reste 2, ... ... par 9 donnent pour reste 8.
Si c'est le cas
existe-t-il parmi eux des nombres dont tous les chiffres sont différents ?

Franky1103 · #2

Salut,
Ce nombre sera de la forme: [PPCM(1;2;3;4;5;6;7;8;9)].k-1, soit de la forme: 2520.k-1
Comme: 1 000 000 000 ≤ 2520.k-1 ≤ 9 999 999 999, on aura: 396 826 ≤ k ≤ 3 968 253
Comme un nombre de 10 chiffres différents est divisible par 9 (la somme de ses chiffres faisant 45) et 2520 aussi, il n’existe aucun nombre répondant à la dernière question.
Bonne journée.

Vasimolo · #3

x est de la forme x=2520k-1 avec 396 825<k<3 968 254 . Il ne peut pas s'écrire avec les 10 chiffres car la somme de ses chiffres 45 serait 45 divisible par 9 .

Vasimolo

clanelle · #4

Bonjour,

Je dirais que tous les nombres de la forme n x 2520 - 1 répondent, seuls, à la définition sur les restes.

En se restreignant aux nombres à 10 chiffres, il doit donc y avoir 3.571.427 solutions (de 396.826 x 2520 - 1 à 3.968.353 x 2520 - 1)

Pour les chiffres tous différents, pas d'idée pour l'instant (autre que la force brute).

Bien cordialement,
Lionel

aunryz · #5

Franky1103, Vasimolo et clanelle ont
la forme générale d'un nombre satisfaisant à la première exigence

Pour ceux qui ne l'ont pas
indice 1 : On peut trouver cette information du côté de la suite An*
(où n est le 15 249ième nombre premier ... )

nobodydy a donné la réponse aux questions de façon succincte mais efficace
se refusant (sourire)² de m'aider dans la réponse que je vais pouvoir donner.

Franky1103 et Vasimolo ont étayé leur réponse à la seconde exigence d'une démonstration convaincante.

Indice 2 : Effectivement les critères de divisibilité peuvent servir.

____
*... OEIS

clanelle · #6

Ah oui, merci pour l'indice sur les critères de divisibilité !
Les nombres recherchés ne sont pas divisibles par 9.
Les nombres ayant autant de 1 que de 2, que de 3, (...) que de 8 sont divisibles par 9.
D'où la réponse : aucun des nombres répondant à la 1ère exigence ne répondra à la 2ème.

Bien cordialement,
Lionel

aunryz · #7

Cannelle rejoint le groupe de ceux qui ont donnés (et argumenté) les bonnes réponses.

scarta · #8

A la question "est-ce que ça existe", je dirais oui - après il faut le vérifier mais en théorie le théorème des restes chinois devrait en sortir un.

Application numérique: tous les nombres de 10 chiffres de la forme 2520*K-1 marchent. Il en existe très exactement 3571428 (je remarque là un pattern cher à l'auteur...), le plus petit étant 1000001519 et le plus grand 9999997559

A la question "avec dix chiffres différents", la réponse est non, de toutes les façons. La raison est simple, un tel nombre, quel qu'il soit, est un multiple de 9

aunryz · #9

scarta a donné les deux bonnes réponses argumentées.
(et remarqué quelque chose qui m'avait échappé concernant ma séquence préférée de chiffres)

Merci du passage

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#1 - 18-10-2022 02:00:25

Reste 1,,2,3,4,5,6,7,8,9

#0 Pub

#2 - 18-10-2022 07:51:21

Rste 1,2,3,4,5,6,7,8,9

#3 - 18-10-2022 10:12:25

Reste 1,2,3,4,5,6,78,9

#4 - 18-10-2022 13:23:24

Reset 1,2,3,4,5,6,7,8,9

#5 - 19-10-2022 00:42:00

Reste 1,,3,4,5,6,7,8,9

#6 - 19-10-2022 10:08:05

Reste 1,2,3,4,5,6,7,8,

#7 - 19-10-2022 10:20:22

Reste 1,2,3,4,5,6,7,,89

#8 - 19-10-2022 10:54:56

Reste 1,,2,3,4,5,6,7,8,9

#9 - 19-10-2022 21:04:01

Reste 1,2,3,4,5,6,,78,9

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