@gwen27 : certes, cher candidat, bien vu... mais n'y a-t-il que cela comme solution ? C'est votre bachot que vous jouez là, gardez-vous de toute réponse trop hâtive !

@Jackv : passant outre votre allègre confusion entre les termes "géométrique" et "arithmétique", que je mets sur le compte de votre émoi, tant il est vrai que cette jeunesse chevelue est facile à déstabiliser, je me permets de vous rappeler que vous êtes en Terminale, et donc, que vous êtes censé disposer d'une culture mathématique suffisante (et ce, même depuis le collège) pour ôter les œillères qui obscurcissent votre jugement. Je vous en conjure, un petit effort ! J'aimerais ne pas avoir à vous revoir l'an prochain.

Bonjour,

La première idée est de décomposer 385 en facteurs premiers (5,7,11). On obtient ainsi facilement 2 solutions :
-7, -1, 5, 11
-11, -5, 1, 7

L'équation de degré 4 et l'œil sévère de l'examinateur incitent à approfondir.
En prenant comme origine le point milieu de la progression, il faut résoudre :
(x-9)*(x-3)*(x+3)*(x+9) = 385
(x²-81)*(x²-9) = 385
x^4 - 90*x² + 344 = 0

Cette équation bicarrée se résoud facilement à la main, et a 4 solutions : ±2, ±sqrt(86)

Les 2 premières correspondent aux solutions déjà trouvées, auxquelles il faut ajouter :
+sqrt(86)-9, +sqrt(86)-3, +sqrt(86)+3, +sqrt(86)+9
-sqrt(86)-9, -sqrt(86)-3, -sqrt(86)+3, -sqrt(86)+9

C'est sympa de noter large, ça encourage…

On veut x tel que x(x+6)(x+12)(x+18) = 385 i.e x⁴ + 36x³+ 396x² + 1296x - 385 = 0.

On peut d'abord chercher x entier. On décompose en facteurs premiers : 385 = 5*7*11. On a 11=5+6 et on constate que 5 = -7+12. De plus, -7+6 = -1 donc x = -7 convient. De même, x = -11 convient. Ce sont les deux seules solutions entiers.

On factorise le polynôme par (x+7)(x+11) = x² + 18x + 77 donc on cherche a,b,c tels que : (x⁴ + 36x³+ 396x² + 1296x - 385) = (x² + 18x + 77)(ax²+bx+c).
On a directement : a=1, c=-5. Le calcul donne : b=18. La résolution de x²+18x-5 = 0 donne les deux autres solutions : x = -9-sqrt(86) et x = -9+sqrt(86).

On vérifie bien que le produit des solutions vaut -385 (terme constant du polynôme).


C'est une solution calculatoire, j'ai peut être raté une astuce...

Jeudi 31 Mai 2018,

Monsieur le professeur, veuillez trouver ci-joint ma résolution du problème '50 ans' donné lors de votre dernier cours.

Enoncé
Je cherche quatre nombres qui forment une progression arithmétique de raison 6 et dont le produit est 385

Je vais donc commencer à chercher 4 nombres dont le produit entre eux fera 385

385 est divisible par 5 , ce qui donne 77
77 est divisible par 7 , ce qui donne 11

Nous obtenons donc 385 comme le produit de quatre nombres  (premiers): 1*5*7*11

Cette décomposition en nombres positifs est unique  d'après le théorème vu en cours : "tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs."

Hors l'énoncé nous demande une raison de six entre ces nombres, ceci n'est pas le cas si on considère ces nombres comme des entiers positifs.

Il nous faut donc considérer que certains sont négatifs : deux, pour que le produit des quatre soit positif .

Comme il y une différence de 6  de 1 à 7, et également de 5 à 11 ,

On pense donc à la suite -7, -1, 5, 11 qui convient

et bien sûr également à la suite de signe inverse -11,-5,1,7

Solution(s)
les 4 nombres  -7,-1,5 et 11  ainsi que les quatre nombres -11,-5,1,7 sont en progression arithmétique de 6 et ont leur produit égal à 385.

Et ce sont les deux seules solutions.

@gwen27 : il était temps. Je n'aurais guère goûté que vous retardiez ma pause déjeuner.

@Sphynxis : correct, mais vous aimez visiblement compliquer les choses. Je vais proposer votre nom à mon ami Lichnerowicz qui prépare la prochaine réforme, votre profil peut l'intéresser.

@Vasimolo : vous confondez déférence et flagornerie. Avant de jubiler, relisez votre première phrase puis apprenez à compter jusqu'à quatre. Je n'ai jamais pu supporter les premiers de la classe...

@LeJeu : les seules solutions ? Comme votre camarade Jackv auparavant, vous vous permettez de rajouter inconsciemment dans l'énoncé des contraintes inexistantes. Merci de me laisser mon travail - composer l'énoncé - et faites plutôt le vôtre.

@Jackv : vous progressez. À cette vitesse, vous serez élu sénateur avant d'avoir votre diplôme. Peut-être qu'un autre choix pour x nous évitera à tous deux de mourir de vieillesse dans cette salle d'examen.

Effectivement, il est beaucoup plus judicieux de choisir comme variable x la moyenne des 4 termes.
                            (x-9) * (x-3) * (x+3) * (x+9) = 385
On obtient alors des simplifications remarquables :
                                 x^4 - 90 x^2 + 344 = 0
Et en posant X = x^2 :   X^2 -90 X + 344 = 0 ,
une équation du deuxième degré nettement plus à ma portée !

Le déterminant vaut 6724, et possède, Ô miracle, une racine entière : 82 !!!
Il existe donc 2 solutions :

a) X = (90 - 82)/2 = 4, d'où x = 2 , ce qui conduit au valeurs :
                                     -7 ,  -1 ,  5  et  11

b) X = (90 + 82)/2 = 86, d'où x ~ 9.274 , ce qui conduit au valeurs approximatives :
                          0.274 ,  6.274 ,  12.274  et  18.274

Voilà, je pense y être arrivé, de mon allure de sénateur  .
Merci pour ta patience et ta pédagogie très incitatrice .

Vendredi 1 juin,

Il est vrai que ma première résolution fut un peu expéditive, je la complète donc.

nous pouvons donc  reformuler le problème comme la résolution de :
x( x+6)(x+12)(x+18) = 385

ce qui donne en développant
x^4 + 36 x^3 + 396 x^2 + 1296 x - 385 = 0

la première tentative de résolution nous donne deux racines évidentes : -7 et -11, nous pouvons mettre en facteur  les deux binômes :

( x+7)(x+11) ( x²+18x-5) =0

on résoud
x²+18x-5 =0
soit  ( x+9)^2 - 86 = 0

qui admet deux solutions
x +9 = racine(86)
x+9 = -racine(86)

Solution
les 4 séries solutions du problèmes sont donc les 4 séries de  premier terme:
-7, -11, -9-racine(86), -9 +racine(86)

Effectivement, on peut faire plus compliqué en résolvant directement

x^4 + 36 x^3 + 396 x^2 + 1296 x - 385 = 0

en utilisant la méthode de Ferrari ( 1522-1565) , on pose x= y -36/4 , ce qui va faire disparaître les termes en y^3

on trouve
y^4 - 90 y^2 + 344 =0

coup de chance ? on trouve une équation en bicarré, posons z=y²

z^2 -90z +344=0

Que l'on résout facilement
(z-45)²-1681=0
(z-45)² -41^2 =0

on trouve donc z =86 et z=4

avec z=y²
donc y= racine(86), -racine(86), 2, -2

et pour terminer x = y-9
x=  racine(86) -9, -racine(86) -9, -7, -11

CQFD

on voit tout de suite que en prenant 1 comme premier terme on arrive à un produit très supérieur a 385.

il faut donc un premier terme négatif ( deux termes négatifs pour avoir un produit positif)) et ( un terme égal a 1 ou -1 et un terme qui vaut 5 ou -5  pour avoir un produit multiple de 5)

sans tatonner beaucoup   -7;  -1 ; 5 ; 11.

en posant l’équation (x-6)*(x)*(x+6)*(x+12)=385

et en faisant le changement de variable   x=X-3  on symétrise l’équation

(X²-81)(X²-9)=5*7*11  d'ou X²-9=5 ou 7 ou 11 ou 35 ou 55 ou 77  seules possibilités:

X²=16 ou X²=64    X= -8 -4  4  8  en essayant tous les cas on retombe sur le résultat précédant  ( flemme de tout écrire!)

Mise en équation :
x est le second terme de la progression
(x-6)x(x+6)(x+12)=385
donc x^4 + 12 x^3 - 36 x^2 - 432 x - 385 = 0

Les valeurs numériques du membre de gauche pour les diviseurs entiers de 385
donnent 0 pour  x=-1 et x=-5
On peut donc diviser le membre de gauche par x+1 puis par x+5 et obtenir successivement x^3 + 11 x^2 - 47 x - 385 puis x^2 + 6 x - 77

En recherchant les solutions de x^2 + 6 x - 77 = 0

On obtient encore -3 + rac(86) et -3 - rac(86)

On a donc 4 solutions pour x : -1 ; -5 ; -3+RAC(86) et -3-RAC(86)