Enigme Expressions régulières, V2 @ Prise2Tete

scarta · #1

Hello,

Après mon premier post Expressions régulières, voici une autre série.

^[0-9]+$

^[0-9]*[02468]$

^([0369]|[258][0369]*[147]|([147]|[258][0369]*[258])([0369]|[147][0369]*[258])*([258]|[147][0369]*[147]))+$

^([048]|[0-9]*([13579][26]|[02468][048]))$

^[0-9]*[05]$

^([06]|[258][0369]*4|([147]|[258][0369]*[258])([0369]|[147][0369]*[258])*([28]|[147][0369]*4)|([39]|[258][0369]*[17]|([147]|[258][0369]*[258])([0369]|[147][0369]*[258])*(5|[147][0369]*[17]))([39]|[258][0369]*[17]|([147]|[258][0369]*[258])([0369]|[147][0369]*[258])*(5|[147][0369]*[17]))*([06]|[258][0369]*4|([147]|[258][0369]*[258])([0369]|[147][0369]*[258])*([28]|[147][0369]*4)))+$

La question est toujours de savoir quelles sont les chaines reconnues par ces expressions régulières. Et vu que certaines sont plus simples que d'autres, on devinera assez facilement les plus compliquées, du coup je demanderai aussi d'expliquer le pourquoi

Et si vous avez trouvé le pourquoi et le comment, j'imagine que vous n'aurez pas de mal à en sortir d'autres

Bon courage

Ebichu · #2

Salut scarta,

je dirais que ça reconnaît les nombres entiers naturels divisibles par 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. Pour le pourquoi, je n'ai pas le temps, je ferai ça demain

scarta · #3

En tout cas la réponse est la bonne

Ebichu · #4

On remarque déjà que les entiers reconnus peuvent commencer par un ou plusieurs zéros, comme 0015.

Pour les multiples de 1, je ne détaille pas.

Pour les multiples de 2, on utilise le critère qui dit qu'un nombre est pair si et seulement s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Pour les multiples de 4, on utilise le critère qui dit qu'un nombre est multiple de 4 si et seulement si le nombre formé de ses deux derniers chiffres est lui-même un multiple de 4, ce qui se produit si le chiffre des dizaines est impair et celui des unités est 2 ou 6, ou si le chiffre des dizaines est pair et celui des unités est 0, 4, ou 8. On n'oublie pas le cas d'un nombre formé d'un seul chiffre.

Pour les multiples de 5, on utilise le critère classique du dernier chiffre qui vaut 0 ou 5.

Pour les multiples de 3, un nombre qui convient est la concaténation de un ou plusieurs multiples de 3. Par exemple, 51032262 = 51.0.3.2262. Le test que tu as écrit détecte chacun de ces multiples de 3 "élémentaires". Je visualise ça avec un graphe à 3 états, notés 0, 1, et 2, correspondant aux éléments de Z/3Z. Une arête A relie l'état E à l'état F si E+A=F dans Z/3Z. On cherche donc un chemin dans ce graphe qui part de l'état 0, et qui s'arrête dès qu'il revient à l'état 0. Un tel chemin est :
* soit une boucle, d'où le [0369]
* soit on va à l'état 2 et on revient à l'état 0 après d'éventuelles boucles sur l'état 2, d'où le [258][0369]*[147]
* soit on va à l'état 1 (directement ou en passant par l'état 2), on fait un certain nombre de cycles revenant à l'état 1 (soit une boucle sur l'état 1, soit un cycle passant par l'état 2 et bouclant éventuellement dessus), puis on revient à l'état 0 soit directement, soit en passant par l'état 2. Ceci explique le gros bazar restant.

Pour les multiples de 6, on peut ne garder que les multiples de 3 qui sont pairs. Une façon de faire est, un peu comme ci-dessus, de voir un multiple de 6 comme une concaténation de 1 ou plusieurs multiples de 6 "élémentaires". Si je ne m'abuse, on peut simplifier ton expression en :

^(([39]|[258][0369]*[17]|([147]|[258][0369]*[258])([0369]|[147][0369]*[258])*(5|[147][0369]*[17]))*([06]|[258][0369]*4|([147]|[258][0369]*[258])([0369]|[147][0369]*[258])*([28]|[147][0369]*4)))+$

(on ne garde que la fin), ce qui peut se comprendre comme ^((A'|B'|C')*(A|B|C))+$, où A', B' et C' sont les multiples de 3 impairs correspondant à A, B et C qui sont des multiples de 3 pairs.

Sinon, pour en faire d'autres, je veux bien faire les multiples de 10

enigmatus · #5

Bonjour Scarta,
Je n'ai vraiment réussi à décortiquer complètement que les expressions 1, 2, 4 et 5. Pour les expressions 3 et surtout 5, l'exploration n'a été que partielle et le pifomètre bien utile.
Dans tous les cas, on trouve les lignes constituées d'un nombre décimal, éventuellement précédé d'une suite de zéros.

1) un nombre quelconque
2) un nombre pair
3) un multiple de 3
4) un multiple de 4
5) un multiple de 5
6) un multiple de 6

scarta · #6

C'est bien ça enigmatus;
Ebichu, bravo pour l'explication.
Mais pour la 6ème, on peut faire encore plus simple !

^(?=.*[02468]$)([0369]|[258][0369]*[147]|([147]|[258][0369]*[258])([0369]|[147][0369]*[258])*([258]|[147][0369]*[147]))+$

Le but était simplement de montrer qu'il est possible de générer ces expressions de manière mécanique (les 1, 2, 4, 5 sont là pour donner un indice et être simples à comprendre, mais leur génération automatique aurait été bien moins lisible...)

scarta · #7

Le temps est écoulé!
C'était bien les nombres multiples de 1, 2, 3, 4, 5 et 6 respectivement qui étaient reconnus par ces expressions régulières.

Pour comprendre comment ça marche, considérons le modulo M.
Un nombre N modulo M peut avoir M valeurs possibles entre 0 et M-1.
Posons m = N modulo M
Regardons maintenant le nombre Nc, composé de N auquel on ajoute un chiffre c.
Plus formellement, Nc = N*10+c, donc Nc modulo M = (m*10+c) modulo M

Considérons un graphe avec M états, chacun correspondant à une valeur de modulo de N. On peut passer d'un état à un autre en lisant un chiffre supplémentaire, puisque Nc modulo M ne dépend pas de N mais seulement de m et de c, c'est à dire de l'état courant (m) et du chiffre supplémentaire (c)

Prenons pour exemple M=3, le graphe ressemble un peu à

Code:

====<===1====<====|
| ==1==>   ==1==> |
Z <==2== U <==2== D
|===>===2====>====|

(désolé, c'est moche)

Dans l'idée, 3 états Z, U et D pour les valeurs de modulo 0, 1 et 2
10*0+c = c modulo 3, on passe de 0 à c en lisant c
10*1+c = c+1 modulo 3, on passe de 1 à c+1 en lisant c
10*2+c = c+2 modulo 3, on passe de 2 à c+2 en lisant c

Autre représentation, cette matrice

Code:

0   1   2
2   0   1
1   2   0

Depuis l'état i, j'arrive à l'état j en lisant le caractère ligne i, colonne j

Reste la partie conversion en expression régulière. En réalité, une expression régulière n'est rien d'autre que ce genre de graphe: puis-je lire des caractères les uns après les autres et obtenir un résultat correct ?
Pour arriver à faire cette transformation, il faut supprimer tous les états du graphe, un par un, jusqu'à obtenir un état unique : l'état 0, puisque c'est en étant nul modulo M qu'on est multiple de M

La méthode pour ce faire est la suivante (elle est simplifiée de par le fait que tous les états sont interconnectés).
Pour retirer un état E: pour chaque paire d'autres états E1 et E2, on a

Code:

- E  ==a==> E
- E1 ==b==> E
- E  ==c==> E2
- E1 ==d==> E2

ce sont les transitions pour passer d'un état à un autre.
On va alors remplacer la transition E1/E2 par E1 == d|ba*c ==> E2
(autrement dit, on peut passer de E1 à E2 via d, comme avant, ou en partant de E1 et en passant par E, sur lequel on peut rester un certain temps, avant de finir en E2)

Une fois toutes les paires traitées, on peut supprimer l'état E

Cette méthode est assez mécanique, surtout avec la représentation matricielle, reprenons notre exemple en M=3

Code:

0   1   2
2   0   1
1   2   0

On supprime l'état 2:
- sur la ligne 1, on ajoute "|20*x": 2 puisque c'est le contenu de la dernière colonne sur la première ligne, 0* puisque c'est celui de la dernière colonne de la dernière ligne, et x variant avec la colonne modifiée et décrivant la dernière ligne
- idem pour la ligne d'après, avec "|10*x"

Code:

0|20*1   1|20*2
2|10*1   0|10*2

Et on recommence:

Code:

0|20*1|(1|20*2)(0|10*2)*(2|10*1)

Et voilà.
Pour faire plus propre, on remplace tous les 0 par [0369], 1 par [147] et 2 par [258] puisque ce sont les chiffres qui valent 0, 1, ou 2 modulo 3

On enrobe l'expression régulière un minimum
^([0369]|[258][0369]*[147]|([147]|[258][0369]*[258])([0369]|[147][0369]*[258])*([258]|[147][0369]*[147]))+$

Et voilà !

La technique est donc simple, une fois la matrice écrite (soit T la matrice, et S sa taille):
- pour chaque ligne i=1..S-1, pour chaque colonne j=1..S-1
T[i,j] = T[i,j] | T[i,S] T[S,S]* T[S,j]
- on supprime la dernière ligne et la dernière colonne pour obtenir le nouveau T et on recommence

Pour les multiples de 7, c'est fastoche !

Code:

0 1 2 3 4 5 6
4 5 6 0 1 2 3
1 2 3 4 5 6 0
5 6 0 1 2 3 4
2 3 4 5 6 0 1
6 0 1 2 3 4 5
3 4 5 6 0 1 2

puis

Code:

0|62*3 1|62*4 2|62*5 3|62*6 4|62*0 5|62*1
4|32*3 5|32*4 6|32*5 0|32*6 1|32*0 2|32*1
1|02*3 2|02*4 3|02*5 4|02*6 5|02*0 6|02*1
5|42*3 6|42*4 0|42*5 1|42*6 2|42*0 3|42*1
2|12*3 3|12*4 4|12*5 5|12*6 6|12*0 0|12*1
6|52*3 0|52*4 1|52*5 2|52*6 3|52*0 4|52*1

Code:

0|62*3|(5|62*1)(4|52*1)*(6|52*3) 1|62*4|(5|62*1)(4|52*1)*(0|52*4) 2|62*5|(5|62*1)(4|52*1)*(1|52*5) 3|62*6|(5|62*1)(4|52*1)*(2|52*6) 4|62*0|(5|62*1)(4|52*1)*(3|52*0)
4|32*3|(2|32*1)(4|52*1)*(6|52*3) 5|32*4|(2|32*1)(4|52*1)*(0|52*4) 6|32*5|(2|32*1)(4|52*1)*(1|52*5) 0|32*6|(2|32*1)(4|52*1)*(2|52*6) 1|32*0|(2|32*1)(4|52*1)*(3|52*0)
1|02*3|(6|02*1)(4|52*1)*(6|52*3) 2|02*4|(6|02*1)(4|52*1)*(0|52*4) 3|02*5|(6|02*1)(4|52*1)*(1|52*5) 4|02*6|(6|02*1)(4|52*1)*(2|52*6) 5|02*0|(6|02*1)(4|52*1)*(3|52*0)
5|42*3|(3|42*1)(4|52*1)*(6|52*3) 6|42*4|(3|42*1)(4|52*1)*(0|52*4) 0|42*5|(3|42*1)(4|52*1)*(1|52*5) 1|42*6|(3|42*1)(4|52*1)*(2|52*6) 2|42*0|(3|42*1)(4|52*1)*(3|52*0)
2|12*3|(0|12*1)(4|52*1)*(6|52*3) 3|12*4|(0|12*1)(4|52*1)*(0|52*4) 4|12*5|(0|12*1)(4|52*1)*(1|52*5) 5|12*6|(0|12*1)(4|52*1)*(2|52*6) 6|12*0|(0|12*1)(4|52*1)*(3|52*0)

... (j'ai pas dit marrant, j'ai dit mécanique) ...

et à la fin:

Code:

^([07]|6[29]*3|(5|6[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(6|5[29]*3)|(4|6[29]*[07]|(5|6[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18]
)(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*([29]|[18][29]*3|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(6|5[29]*3))|(3|6[29]*6|(5|6[29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6
)|(4|6[29]*[07]|(5|6[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*(5|[18][29]*6|([07]|[1
8][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)))([18]|4[29]*6|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)|([29]|4[29]*[07]|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|
5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*(5|[18][29]*6|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)))*(5|4
[29]*3|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(6|5[29]*3)|([29]|4[29]*[07]|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5
[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*([29]|[18][29]*3|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(6|5[29]*3)))|([29]|6[29]*5|(5|6[29]*[18])(4|5[29]*[18])*([18]|5[29]*5)
|(4|6[29]*[07]|(5|6[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*(4|[18][29]*5|([07]|[18
][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([18]|5[29]*5))|(3|6[29]*6|(5|6[29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)|(4|6[29]*[07]|(5|6[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[
07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*(5|[18][29]*6|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)))([18]|4[29]*
6|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)|([29]|4[29]*[07]|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[2
9]*[18])*(3|5[29]*[07]))*(5|[18][29]*6|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)))*([07]|4[29]*5|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*([18]|5[29]*5)|(
[29]|4[29]*[07]|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*(4|[18][29]*5|([07]|[1
8][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([18]|5[29]*5))))(3|[07][29]*5|(6|[07][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([18]|5[29]*5)|(5|[07][29]*[07]|(6|[07][29]*[18])(4|5[29]*[1
8])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*(4|[18][29]*5|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([18]|5[29]*5)
)|(4|[07][29]*6|(6|[07][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)|(5|[07][29]*[07]|(6|[07][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|
[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*(5|[18][29]*6|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)))([18]|4[29]*6|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18
])*([29]|5[29]*6)|([29]|4[29]*[07]|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*(5|
[18][29]*6|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)))*([07]|4[29]*5|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*([18]|5[29]*5)|([29]|4[29]*[07]|(3|4[29]*[18
])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*(4|[18][29]*5|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(
[18]|5[29]*5))))*([18]|[07][29]*3|(6|[07][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(6|5[29]*3)|(5|[07][29]*[07]|(6|[07][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][
29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*([29]|[18][29]*3|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(6|5[29]*3))|(4|[07][29]*6|(6|[07][29]
*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)|(5|[07][29]*[07]|(6|[07][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18]
)*(3|5[29]*[07]))*(5|[18][29]*6|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)))([18]|4[29]*6|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)|([29]|4[2
9]*[07]|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*(5|[18][29]*6|([07]|[18][29]*[
18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)))*(5|4[29]*3|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(6|5[29]*3)|([29]|4[29]*[07]|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(
6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*([29]|[18][29]*3|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(6|5[29]*3))))|([18]|6[29]*4|(5
|6[29]*[18])(4|5[29]*[18])*([07]|5[29]*4)|(4|6[29]*[07]|(5|6[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18]
)*(3|5[29]*[07]))*(3|[18][29]*4|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*([07]|5[29]*4))|(3|6[29]*6|(5|6[29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)|(4|6[29]*[07
]|(5|6[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6|[18][29]*[07]|([07]|[18][29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))*(5|[18][29]*6|([07]|[18][29]*[18])(4
|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)))([18]|4[29]*6|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*([29]|5[29]*6)|([29]|4[29]*[07]|(3|4[29]*[18])(4|5[29]*[18])*(3|5[29]*[07]))(6
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Ebichu · #8

Merci pour ces explications, c'était intéressant.

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#1 - 19-06-2018 23:04:11

expressions eégulières, v2

#0 Pub

#2 - 21-06-2018 00:10:42

expressiobs régulières, v2

#3 - 21-06-2018 11:03:56

expeessions régulières, v2

#4 - 21-06-2018 17:23:36

Expression srégulières, V2

#5 - 21-06-2018 17:33:41

Expressions réulières, V2

#6 - 22-06-2018 15:59:08

xEpressions régulières, V2

#7 - 28-06-2018 09:43:53

expressions régulièrrs, v2

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#8 - 30-06-2018 14:12:46

Exprsesions régulières, V2

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