Je suppose qu'il faut en passer par :

* Lister tous les nombres semi-premiers supérieurs à 30 (puisque Patrick n'a pas eu d'enfants avant cet âge)et inférieurs à 120 ((suite A001358 de l'OEIS : 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 121)

*Pour chaque nombre semi-premier, déterminer les combinaisons possibles d'âges qui s'additionnent à ce nombre.

*Vérifier si ces combinaisons peuvent être arrangées en un palindrome lorsque leurs âges sont écrits en format à deux chiffres (en ajoutant un zéro devant les nombres inférieurs à 10)

*S'assurer que deux enfants ont le même âge et que l'un a la moitié de l'âge de l'un de ses aînés.

*Vérifier que Quetsche est plus jeune que Paul.

*Considérer que seuls deux enfants sont en âge de travailler, ce qui pourrait indiquer qu'ils ont plus de 16 ans.

*S'assurer qu'au moins deux enfants ont un âge palindromique.
Manon ne sachant pas lire, son âge doit être inférieur à 6 ans.

On va s'y atteler ... sans ce hâter

Merci pour cette énigme à la limite de ma compréhension
(inf ou sup ... je vais voir cela)

Il y a 10^10 combinaisons possibles et 5^10 combinaisons palindromique. Il y a une autre réponse mathématiquement valide mais réalistiquement impossible.

04 00 22 00 40. Quetsche et Nathan ont rejoint Octavie dans cette combinaison. Plusieurs énoncés rendent cette possibilité moins réaliste, mais probable.

https://www.dropbox.com/scl/fi/z0uz8dpu … 8&dl=0

Ce lien renvoie vers un fichier excel qui vérifie les conditions de l'énoncé et peut tester les 10^10 combinaisons.  J'ai "influencé" l'énoncé dans la génération aléatoire pour qu'il test les plus réalistes.
Il faut l'ouvrir dans Excel Web, sur Dropbox ca ne charge pas


En supposant que la situation est réaliste
Vous n’avez que 3 pistes tangibles :

- Manon ne sait pas lire < 4 ou 5 ans
- 2 enfants ont un emploi => 16 ans

- Donc l’âge de Patrick > 16 + 16 + 1 + 1 +1
                         Patrick > 37 ans
- Cependant 1 enfant à la moitié de l’âge d’un autre.
                         Patrick > 16 + 16 + 2 + 1 +1
                         Patrick > 38
Concaténations palindromique possibles m n p q r avec Manon < à 4 ou 5
- Mxx Nxx Pxx Qxx Rxx
- 01 Nxx Pxx Qxx R10
- 02 Nxx Pxx Qxx R20
- 03 Nxx Pxx Qxx R30

- Manon = {01 ; 04}
Alors Robert = 10, 20, 30 ou 40
- Mx1x2 Nxx Pxx Qxx Rx2x1
- Si Nx3x4 alors Qx4x3
- Donc Nxx ne peut pas valoir la moitié de Qxx
Donc Nathan n’a pas la moitié de l’âge de Quetsche et Quetsche ne peut pas avoir la moitié de l’âge de Nathan
Nathan et Quetsche sont les enfants qui ont le même âge
Et Qx4x3 < Px5x6
- Pour M = 1
Les réponses possibles sont :
- 01 01 11 10 10 => Palindrome = 33 < 38 hypothèse invalidée
- 01 01 22 10 10 => Palindrome = 44 > hypothèse probable mais aucun enfant n’a la moitié de l’âge de l’un de ses ainées
Cette piste n’est pas exploitable car soit aucun enfant n’a la moitié de l’âge de ses ainées, soit il n’y a pas 2 enfants qui travaille mais 1 ou 3.
- 01 11 22 11 10 => Palindrome 55 > Seuls 1 de ses enfants travaille dans cette configuration
- 01 22 11 22 10 => Palindrome 66 > Ce n’est pas un nombre semi-premier
- 01 33 11 33 10 => Palindrome 88 > Ce n’est pas un nombre semi-premier
- 01 44 11 44 10 => Palindrome 110 > Ce n’est pas un nombre semi-premier

Cette étape est normalement la plus et vous permet de conclure que N et Q sont multiple de 11. M et R sont miroir avec Rxx = 2x

De plus il devient de plus en plus improbable de trouver la réponse réaliste à mesure que Patrick > 100 ans.

Pour Manon = 2 ans
- Si Rxx > 16 alors Nxx et Qxx <16, sinon trop d’enfant travail
- Donc Pxx > 16
#Ne pas oublier que Qxx<Pxx
#L’un des enfants a la moitié de l’âge de l’un de ses ainées, il devient de plus en plus probable que cela soit Manon, Nathan ou Quetsche, les ainées étant Paul et Robert
- 02 11 22 11 20 => Palindrome 56 => Ce n’est pas un nombre semi-premier
On ne peut pas continuer sinon trop d’enfants travail

Pour M = 3
- 03 11 22 11 30 => Palindrome 77 => C’est en effet un nombre semi-premier. Cela voudrait dire que Patrick peut avoir 77 ans et avoir eu son premier enfant à 47 ans.
Dans le cas où M = 4
Le cas 04 00 22 00 40
- 04 02 22 20 40 => Palindrome 70 => Pas un nombre semi-premier
- 04 11 22 11 40 => Palindrome 88 => Pas un nombre semi-premier
A partir d’ici les probabilités de trouver un âge raisonnable à Patrick chute drastiquement. La prochaine hypothèse est Patrick = 132 ans et ce n’est pas un nombre semi-premier.

Nous nous retrouvons donc avec 1 forte possibilité
Patrick = 77


conclusions :

Bien qu’arriver jusqu’ici soit fastidieux, on voit que la conviction que :
1.    La réponse puisse être vérifier
2.    La réponse est réaliste
Nous permet d’être sûr à 99% que la solution de l’énigme est 77.
Puisque nous avons 1 possibilité réaliste divisé par 10^10 possibilités moins réaliste
Cette énigme marche si l’on sait que la réponse attendue est une réponse certaine à 99%. En respectant les mêmes règles que l’énigme, on peut en déduire que nous avons trouvé la bonne réponse.
Le but de cette énigme est de trouver la réponse à partir de 0 informations.