Ooops... Ptitloup, ta réponse m'a fait réaliser que j'avais tapé quelque chose d'incorrect dans mon énoncé.
Par contre, on essayera de trouver une méthode qui fonctionne également pour les petits entiers (Ta proposition ne pouvait fonctionner pour 1, 2 et 3 par exemple)

Voici ma solution:
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de 3 a 6:
3 = 2+1
4= 3+(2-1)
5=4+(3/(2+1))
6=5+4-3*(2-1)
ensuite pour les autres nombres, on defini 4 formes de zeros:
Z3 = 3-2-1 = 0
Z4 = 4-3-2+1 = 0
Z5 = (5-4-3+2)*1 = 0
Z6 = 6-5+4-3-2*1 = 0
pour Z7 et au dela:
Zn = n-(n-1)-(n-2)+(n-3) + Z(n-4)  = 0

ensuite il suffit de dire que pour N superieur à 6 on utilise:
N = (n-1)+(n-2)-(n-3) + Z(n-4)
et ca marche jusqu'a l'infini.

Une solution sans divisions pour [latex]N\geq 3[/latex]:

Soit [latex]k\in\left\lbrace 0;1 \right\rbrace[/latex]
on pose [latex]U_k=\sum_{i=2+k}^{N-2}i\times(-1)^{\alpha_i}[/latex]

Lemme: pour [latex]k[/latex] égal à la parité de [latex]N-1[/latex], on peut choisir une suite [latex]{\alpha_i}[/latex] telle que [latex]U_k[/latex] vaille 0 ou 1.
[TeX]\bullet[/latex] Si [latex]k=0[/latex] et [latex]N-1[/latex] est pair alors [latex]U_k[/latex] contient un nombre pair de terme,
- Si [latex]|U_k|\equiv 0 [4] [/TeX][TeX]\underbrace{\underbrace{\underbrace{-2+3}_{=-1}+\ldots+
\underbrace{(\frac{N-3}{2}-1)-\frac{N-3}{2}}_{=-1}}_{=\frac{N-3}{2}\times -1} | \underbrace{\underbrace{-(\frac{N-3}{2}+1)+\frac{N-3}{2}+2}_{=1}+\ldots
\underbrace{-(N-3)+N-2}_{=1}}_{=\frac{N-3}{2}\times 1}}_{=0}[/TeX]
- Sinon [latex]|U_k|\equiv 2 [4] [/latex]
[TeX]\underbrace{\underbrace{\underbrace{-2+3}_{=-1}+\ldots- \underbrace{\frac{N-3}{2}-2-(\frac{N-3}{2}-1)}_{=-1}}_{=\frac{N-5}{2}\times -1}+\underbrace{\left(-\frac{N-3}{2} + \frac{N-3}{2}+1\right)}_{=1}-
\underbrace{\underbrace{(\frac{N-3}{2}+2)+\frac{N-3}{2}+3}_{=1}+\ldots-
\underbrace{(N-3)+N-2}_{=1}}_{=\frac{N-5}{2}\times 1}}_{=1}[/TeX][TeX]\bullet[/latex] Si [latex]k=1[/latex] et [latex]N-1[/latex] impair on obtient le même résultat en décalant d'un indice.




Si [latex]N-1\equiv 0 [4][/TeX]
[TeX]1\times U_0+(N-1)= 1\times 1+(N-1)=N [/TeX]
Si [latex]N-1\equiv 1 [4][/latex]
[TeX](-1+2)\times U_1+(N-1)= 1\times 1+(N-1)=N [/TeX]
Si [latex]N-1\equiv 2 [4][/latex]
[TeX]1+U_0+(N-1)= 1+0+(N-1)=N [/TeX]
Si [latex]N-1\equiv 3 [4][/latex]
[TeX](-1+2)+U_1 +(N-1)= 1+0+(N-1)=N [/TeX]
N.B.: ce que je poste ne semble pas exempt de coquilles, mais il est assez tard et je poste pour exposer l'idée (et ne pas la perdre ^^).
Il est peut-être possible de "factoriser" en deux cas,

Pour ce qui est de 1 et 2 ... [latex]exp(0)[/latex] et [latex]exp_2(1)[/latex] ?

Oups une coquille. Voici la version corrigée

Pour les N pairs
on écrit la suite (en alternant les + et les - )
[(N-1)-(N-2)+(N-3)-(N-4)+.....  - 4 + 3  -1 ] x 2 = N
exemple pour N=12
[ 11 - 10 + 9 - 8 + 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 1 ] x 2 = 12

Pour les N impairs, on inverse ceux du rang N-2 et N-3
[(N-1)-(N-3)+(N-2)-(N-4)+.....  - 4 + 3  ] x 2 - 1 = N
exemple pour N=11
( [10 - 8 + 9 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3] x 2 ) - 1 = 11