Spoiler : Mon avis sur le sujet Une des enveloppes contient le double de l'autre, donc ici, avec 100 euros dans une enveloppe, l'autre contient soit 50 euros, soit 200. L'espérance mathématique de gain (en l'occurrence, avec une chance sur deux de perdre 50 et une chance sur deux de gagner 100, elle est de +25 euros) me dicte de tenter d'ouvrir l'autre enveloppe

Il me semble que je ne l'ai jamais vue non plus, étrange d'ailleurs : elle est simple et efficace, comme tout bon classique !

J'ai l'impression qu'il y a en effet une c****** dans le potage.

1er cas: A contient n euros et B contient 2n euros.
2ème cas: A contient 2n euros et B contient n euros.

L'espérance de A et B sont donc identiques à 3/2*n.

Aucune raison valable donc de changer.

L'information obtenue après tirage en ouvrant l'enveloppe est une simple conséquence de la situation de départ.

Ben... Si l'animateur dit qu'il y a moyen de gagner davantage, et en supposant qu'il ne ment pas - mais s'il mentait pour induire en erreur, ça ne passerait pas bien à la télé - alors j'ouvre la deuxième enveloppe.

Si on tire une enveloppe au hasard, on a une chane sur 2 d'avoir celle avec le montant le plus élevé.

Si on a l'enveloppe avec 100 dans les mains, on pourrai croire, comme Mathias, qu'on a une chance sur 2 d'avoir l'enveloppe avec le montant le plus élevé et donc d'espérer 50 ou 200 dans la seconde, avec une espérance de gain de +25 si on change d'enveloppe...
Ca parait logique : où est l'erreur !

En fait, on a une information supplémentaire : "100 €".

Tout le problème vient qu'il n'y a pas, pour une valeur n donnée, équiprobalité d'avoir n/2 ou 2n dans l'autre enveloppe.

Supposons que pour m donné, la probabilité d'avoir la plus faible valeur comprise entre m et 2m soit p (avec 0<p<1). Pour que lorsque l'on tire la valeur n on ai autant de chance d'avoir n/2 que 2n dans la seconde enveloppe, il faudrait que [m/2;m] et [m;2m] est la même probabilité.Or, il y a une infinité d'intervalle de type [m 2^i;m 2 ^(i+1)], ce qui donnerai une probabilité supérieur à 1 d'avoir une enveloppe avec une valeur entre 0 et l'infini.

Donc la probabilité p(m) que la valeur la plus faible d'un couple d'enveloppe soit dans l'intervalle [m;2m] n'est pas une constante et tend vers 0 pour m très grand ou m très petit.

Il y a une valeurs seuil m+ à partir de laquelle il n'est pas intéressant de changer d'enveloppe.
Dès que pour m>m+, on a p(m/2)>p(m)*2, alors l'espérance de gain en changeant d'enveloppe est négative :
en effet, on avait p(m) chance de tirer le couple (m;2m) et p(m/2) chance de tirer le couple (m/2;m), en posant a = p(m)/(p(m)+p(m/2)) l'espérance de gain en changeant d'enveloppe est donc : m/2 * (1-a) + 2m *(a) - m =m (3/2 *a - 1/2). Pour p(m/2)>p(m)*2, alors a<1/3 : cqfd.

rem : pour démontrer l'existence de cette valeur de m+ on procède par l'absurde mais il faut rajouter une hypothèse de décroissance de p(m).

Pour conclure, il faut dire que p(m) et donc m+ dépend en fait du choix des organisateurs du jeu.
Sans connaître ces données, le joueur ne peut pas décider et se retrouve dans une situation où ses chances sont égales entre changer d'enveloppe ou conserver la première. Ce qui était évident dès le début puisque celà revient à faire le changement d'enveloppe sans regarder (=sans tenir compte) du montant de la première.

Bravo à dhrm77 et dylasse qui se sont lancés dans un concours de réponses imbitables

Dans le principe, j'ouvre l'enveloppe, paf, 100 euros, et il y a UNE SEULE autre enveloppe, avec soit 50 euros, soit 200 ; on ne connait pas les choix des orgas, on ne réitèrera pas le choix, on ne le fera pas avec d'autres valeurs, et je dirais que le problème ne change pas s'il y a un million au lieu de cent euros dans l'enveloppe : une chance sur deux qu'il y ait deux millions dans l'autre, une chance sur deux qu'il y ait "seulement" un demi-million. Ca marcherait même avec n'importe quelle valeur correspondant à un nombre de centimes pair, si on veut vraiment faire du mal aux mouches

Donc, si l'animateur te donne l'enveloppe 1, tu choisis de partir avec la 2, mais s'il te donne la 2, tu préfères la 1.

Ce n'est peut-être pas contradictoire, mais au minimum, ça s'appelle avoir l'esprit de contradiction (en plus, vouloir contredire un tirage aléatoire, c'est un symptôme aggravé).

On va dire que c'est logique ... pour quelqu'un ayant un esprit de la contradiction suffisamment développé. Ou bien pour un curieux, qui voudrait bien savoir ce qu'il y a dans l'autre enveloppe.

On a vu aussi que les prudents choisissent de garder les 100 Euros, car ils n'ont pas confiance dans l'animateur.

Et un neurasthénique, il choisirait laquelle ?

Je change très légèrement la règle du jeu, je vous donne un euro en plus si vous ne changez pas d'enveloppe.
Vous faites quoi?

Je vous livre mon analyse.

Pour moi, ce problème est une version remaniée du classique problème de l'age du capitaine. Dans le fameux problème, on donne des indices comme par exemple la taille du capitaine, le poids du capitaine, l'age du bateau. Ensuite, on demande : Quel est l'age du capitaine ?

Certains essaient de mettre le problème en équation, en combinant les indices. Au mieux, il obtiennent des informations qui n'ont pas d'intérêt pour répondre à la question posée. Par exemple, l'indice de masse corporelle du capitaine peut être calculé à partir de sa taille et de son poids. Au pire, ils font des calculs totalement incohérents comme additionner l'age du bateau et la taille du capitaine.

En réalité, la bonne réponse au problème est qu'aucun indice donné dans l'énoncé ne permet de "mettre en équation" la question posée. La réponse à la question posée ne peut pas être déduite des données du problème.

Autrement dit, le joueur n'a pas d'autre alternative que de baser son choix sur des critères extérieurs au problème. Par exemple, s'il est curieux de savoir ce qu'il y a dans la seconde enveloppe, il va l'ouvrir. S'il craint qu'on lui ait menti au départ en disant qu'une enveloppe contient bien le double de l'autre, il va garder les 100 Euros. Ou bien, si il a un peu l'expérience de ce genre de jeu, il peut savoir qu'en général les joueurs gagnent moins de 100 Euros, auquel cas il choisira de garder la première enveloppe, sinon, il changera.

Comment prouver que ce problème est bien une variation du problème du capitaine ?

Pas évident. Ce qu'on attend de l'élève dans le problème de l'age du capitaine, c'est qu'il dise : "C'est impossible, on ne peut pas déterminer l'age du capitaine à partir des données du problème". Mais, on demande rarement à l'élève de prouver que c'est effectivement impossible.

D'ailleurs, comment expliqueriez vous a un élève qui chercherait désespérément à résoudre le problème de l'age du capitaine ... qu'il peut s'arrêter, qu'il n'aboutira pas. C'est clair que si l'élève fait un calcul foireux, vous pourrez vous engouffrer dans la brêche et dire "Là, t'as déconné, tu as additionné des carottes et des poireaux". Mais, tant qu'il fait des calculs valides, comment lui prouver qu'il se fatigue pour rien ?

Je pense qu'il faut démontrer que les indices contenus dans l'énoncé sont "déconnectés" de la question posée. J'essaie.

Au moment ou le joueur doit faire son choix (garder ou échanger), il sait que les enveloppes contiennent soit [100,50] soit [100,200]. Donc la question posée peut être reformulée ainsi : Les organisateurs du jeu ont-ils mis 50 euros ou bien 200 euros dans la seconde enveloppe ?
Or, concernant cette question capitale, la seule qui permettrait de trancher, l'énoncé ne contient strictement aucun indice. Pas le moindre petit indice permettant de savoir s'il y a plutôt plus de chance que ce soit 50 plutôt que 200. Donc, le choix ne peut être que du pur hasard ou de l'intuition basée sur des éléments extérieurs à l'énoncé (sommes habituellement mises en jeu dans ce genre de jeu, risque de canular, etc).

Si, les données sont séparée de la question précise posée, pas du problème en général.

La question précise, après analyse de toutes les données, c'est : La seconde enveloppe contient-elle 50 ou 200 ?

Sur cette question, aucun élément de l'énoncé ne permet d'avancer un quelconque élément probabilité.

Donc, seuls des éléments "extérieurs à l'énoncé" peuvent être invoqués.

Par exemple, si le joueur à justement besoin de 100 euros tout de suite pour se faire opérer d'une tumeur mortelle, il prendra les 100 euros et ne risquera surtout pas de prendre la seconde enveloppe.

Si le joueur est suffisament riche pour que la perte des 50 euros ne change rien à son quotidien, et s'il a confiance dans l'animateur, il choisira plutôt de changer.

Mais aucune stratégie ne peut maximiser son espérance de gain.

Non, j'insiste, en terme d'espérance de gain ... on ne peut strictement rien conclure de l'énoncé.

L'espérance de gain c'est : (probabilité pour que les organisateurs aient mis 50 euros dans la seconde enveloppe) x (-50) + (probabilité pour que les organisateurs aient mis 200 euros dans la seconde enveloppe) x 100.

Or, dans ce calcul, les deux probabilités sont totalement inconnues. Elles varient de 0 à 1, et leur somme vaut 1, c'est tout ce qu'on peut dire.

Vous avez oublié le fait que jamais on ne proposera une somme de 12,50 euros ! C'est ridicule, on met 10 ou 15 !
Donc sans hésitation je change !
(et pour ceux qui ne veulent pas changer je suis équiprobable, mais avec un petit plus;-))

Ok je me suis trompé  j'étais parti dans un raisonnement avec une autre somme, désolé.
Mais bon, quelle somme présente-t-on dans une émission télévisée : 100/200 ou 50/100, et bien moi je dis que l 100/200 a plus de chance d'arriver dans ce contexte !
Quelqu'un a une objection ?
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