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#1 - 27-11-2009 15:31:49
- hlbnet
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dzux enveloppes
C'est un classique ... mais je ne l'ai pas touvé sur le forum, bizarre (ai-je mal cherché) !
Alors que vous vous promenez tranquillement dans la rue, un animateur télé vous aborde. Il a en main deux enveloppes cachetées.
Il vous dit : "Voici deux enveloppes contenant de l'argent. L'une des deux contient une somme double de l'autre."
Puis, il lance une pièce de monnaie, très haut, tournant très vite et dit : "Si la pièce tombe sur face, je vous donne l'enveloppe 1. Sur pile, je vous donne l'enveloppe 2."
La pièce tombe sur face et il vous tends donc l'enveloppe 1. Vous l'ouvrez fébrilement et vous découvrez, ravi, 100 Euros.
L'animateur dit: "Bravo, vous venez de gagner 100 Euros. Mais, ce n'est pas fini ... je vous donne la possibilité de gagner davantage encore. Vous pouvez soit partir avec les 100 Euros, soit abandonner les 100 Euros et ouvrir l'autre enveloppe ... dont le contenu sera a vous définitivement !"
Question: En supposant que vous soyez parfaitement logique, que faites vous ? Conservez-vous les 100 Euros ou bien tentez-vous votre chance en prenant la seconde enveloppe ?
S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)
#2 - 27-11-2009 15:46:49
- MthS-MlndN
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Deux evneloppes
Spoiler : Mon avis sur le sujet Une des enveloppes contient le double de l'autre, donc ici, avec 100 euros dans une enveloppe, l'autre contient soit 50 euros, soit 200. L'espérance mathématique de gain (en l'occurrence, avec une chance sur deux de perdre 50 et une chance sur deux de gagner 100, elle est de +25 euros) me dicte de tenter d'ouvrir l'autre enveloppe
Il me semble que je ne l'ai jamais vue non plus, étrange d'ailleurs : elle est simple et efficace, comme tout bon classique !
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#3 - 27-11-2009 16:05:11
- hlbnet
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deux envekoppes
Donc, si la pièce était tombée sur pile et que l'animateur t'avait donné l'enveloppe 2 ... tu aurais changé aussi et tu serais parti avec les 100 Euros. C'est pas un peu contradictoire ?
S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)
#4 - 27-11-2009 17:15:47
- papiauche
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Deux enveloppees
J'ai l'impression qu'il y a en effet une c****** dans le potage. ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
1er cas: A contient n euros et B contient 2n euros. 2ème cas: A contient 2n euros et B contient n euros.
L'espérance de A et B sont donc identiques à 3/2*n.
Aucune raison valable donc de changer.
L'information obtenue après tirage en ouvrant l'enveloppe est une simple conséquence de la situation de départ.
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#5 - 27-11-2009 21:47:18
- scrablor
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deux enceloppes
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#6 - 27-11-2009 23:01:29
- Nombrilist
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drux enveloppes
Ben... Si l'animateur dit qu'il y a moyen de gagner davantage, et en supposant qu'il ne ment pas - mais s'il mentait pour induire en erreur, ça ne passerait pas bien à la télé - alors j'ouvre la deuxième enveloppe.
#7 - 28-11-2009 03:23:50
- dhrm77
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Deux enveloppe
MthS-MlndN a écrit:Une des enveloppes contient le double de l'autre, donc ici, avec 100 euros dans une enveloppe, l'autre contient soit 50 euros, soit 200. L'espérance mathématique de gain (en l'occurrence, avec une chance sur deux de perdre 50 et une chance sur deux de gagner 100, elle est de +25 euros) me dicte de tenter d'ouvrir l'autre enveloppe ![smile](img/smilies/smile.png)
Je pense qu'il ne faut pas voir les chances comme une progression lineaire mais comme une progression arithmetique. Quand on prend le probleme de facon lineaire on arrive effectivement a une contradiction: Si on prend l'une ou l'autre enveloppe les chances apparentes de faire mieux avec l'autre sont dans les 2 cas de +25% (en moyenne).
Basé sur l'énoncé, il faut percevoir le probleme sur une echelle logarithmique ou 50 est aussi loin de 100 que 100 l'est de 200.
Si par contre, l'animateur avait dit "une enveloppe contient 50 de plus que l'autre, alors la, il faut voir le probleme de facon lineaire. Dans les 2 cas. les chances de faire mieux sont identiques aux chances de faire pire.
Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
#8 - 28-11-2009 08:56:31
- dylasse
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Deux enveloppe
Si on tire une enveloppe au hasard, on a une chane sur 2 d'avoir celle avec le montant le plus élevé.
Si on a l'enveloppe avec 100 dans les mains, on pourrai croire, comme Mathias, qu'on a une chance sur 2 d'avoir l'enveloppe avec le montant le plus élevé et donc d'espérer 50 ou 200 dans la seconde, avec une espérance de gain de +25 si on change d'enveloppe... Ca parait logique : où est l'erreur !
En fait, on a une information supplémentaire : "100 €".
Tout le problème vient qu'il n'y a pas, pour une valeur n donnée, équiprobalité d'avoir n/2 ou 2n dans l'autre enveloppe.
Supposons que pour m donné, la probabilité d'avoir la plus faible valeur comprise entre m et 2m soit p (avec 0<p<1). Pour que lorsque l'on tire la valeur n on ai autant de chance d'avoir n/2 que 2n dans la seconde enveloppe, il faudrait que [m/2;m] et [m;2m] est la même probabilité.Or, il y a une infinité d'intervalle de type [m 2^i;m 2 ^(i+1)], ce qui donnerai une probabilité supérieur à 1 d'avoir une enveloppe avec une valeur entre 0 et l'infini.
Donc la probabilité p(m) que la valeur la plus faible d'un couple d'enveloppe soit dans l'intervalle [m;2m] n'est pas une constante et tend vers 0 pour m très grand ou m très petit.
Il y a une valeurs seuil m+ à partir de laquelle il n'est pas intéressant de changer d'enveloppe. Dès que pour m>m+, on a p(m/2)>p(m)*2, alors l'espérance de gain en changeant d'enveloppe est négative : en effet, on avait p(m) chance de tirer le couple (m;2m) et p(m/2) chance de tirer le couple (m/2;m), en posant a = p(m)/(p(m)+p(m/2)) l'espérance de gain en changeant d'enveloppe est donc : m/2 * (1-a) + 2m *(a) - m =m (3/2 *a - 1/2). Pour p(m/2)>p(m)*2, alors a<1/3 : cqfd.
rem : pour démontrer l'existence de cette valeur de m+ on procède par l'absurde mais il faut rajouter une hypothèse de décroissance de p(m).
Pour conclure, il faut dire que p(m) et donc m+ dépend en fait du choix des organisateurs du jeu. Sans connaître ces données, le joueur ne peut pas décider et se retrouve dans une situation où ses chances sont égales entre changer d'enveloppe ou conserver la première. Ce qui était évident dès le début puisque celà revient à faire le changement d'enveloppe sans regarder (=sans tenir compte) du montant de la première.
#9 - 28-11-2009 10:17:28
- yoshi2402
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dzux enveloppes
Humhum... Les probabilité semblent en faveur de l'envelope B : 50% de chance de gagner 100 euros et 50% de chance de n'en perdre que 50... Mais je n'aurait pas confiance en un animateur télé qui m'aborderait dans la rue, sans prévenir. Moi je garderais les 100 euros.
#10 - 28-11-2009 16:46:13
- MthS-MlndN
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Deux enveloppe
Bravo à dhrm77 et dylasse qui se sont lancés dans un concours de réponses imbitables ![lol](img/smilies/lol.png)
Dans le principe, j'ouvre l'enveloppe, paf, 100 euros, et il y a UNE SEULE autre enveloppe, avec soit 50 euros, soit 200 ; on ne connait pas les choix des orgas, on ne réitèrera pas le choix, on ne le fera pas avec d'autres valeurs, et je dirais que le problème ne change pas s'il y a un million au lieu de cent euros dans l'enveloppe : une chance sur deux qu'il y ait deux millions dans l'autre, une chance sur deux qu'il y ait "seulement" un demi-million. Ca marcherait même avec n'importe quelle valeur correspondant à un nombre de centimes pair, si on veut vraiment faire du mal aux mouches ![roll](img/smilies/roll.png)
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#11 - 28-11-2009 17:01:40
- MthS-MlndN
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deux ebveloppes
J'enfonce le clou :
dylasse a écrit:Ca parait logique : où est l'erreur !
Traduction française : "je suis tordu, et non, je ne prendrai pas mon p**ain de Lithium" ![wink](img/smilies/wink.png)
dylasse a écrit:Pour que lorsque l'on tire la valeur n on ai autant de chance d'avoir n/2 que 2n dans la seconde enveloppe, il faudrait que [m/2;m] et [m;2m] est la même probabilité.Or, il y a une infinité d'intervalle de type [m 2^i;m 2 ^(i+1)], ce qui donnerai une probabilité supérieur à 1 d'avoir une enveloppe avec une valeur entre 0 et l'infini.
Je ne suis pas tout, là... A priori, un nombre positif quelconque, dont la valeur se trouve entre un petit m donné et un M valant [latex]m \times 2^k[/latex] (donc sur un intervalle de longueur [latex]m \times (2^k-1)[/latex], peut se trouver dans [latex][ m \times 2^i, m \times 2^{i+1} ][/latex] avec une probabilité de [latex]\frac{2^i}{2^k-1}[/latex]. Si on fait tendre k vers l'infini, toutes ces probas tendent vers 0.
Dans le cas qui nous intéresse, non seulement on ne tend jamais vers l'infini, mais en plus, si on connait la somme N qu'on a dans l'enveloppe, et que cette valeur est dans [latex][ m \times 2^i, m \times 2^{i+1} ][/latex], alors la valeur de l'autre enveloppe sera dans [latex][ m \times 2^{i-1}, m \times 2^{i} ][/latex] ou dans [latex][ m \times 2^{i+1}, m \times 2^{i+2} ][/latex] avec la même probabilité, à savoir une chance sur deux...
Non ?
L'explication de dhrm77 tient plus la route, en revanche je ne saisis pas vraiment son sens... Sur une échelle logarithmique, on a une espérance nulle (pour le dire vulgairement), mais en pratique, la vie de tous les jours est sur une échelle linéaire, donc mon espérance dans la vraie vie est positive, non ? ![hmm](img/smilies/hmm.png)
Pour répondre à hlbnet : si j'avais eu l'autre enveloppe, deux cas de figure :
- J'avais 50 euros, et dans l'autre, a priori, soit 25 soit 100, d'où une espérance de gain de 12,5 euros. Je change d'enveloppe. - J'avais 200 euros, et dans l'autre a priori, soit 100, soit 400, espérance de gain de 50. Je change.
Mais en prenant le problème dans ce sens, il faut encore supposer qu'on n'a strictement aucune information sur ce qui se trouve en face, sinon on ne fait pas de la probabilité mais de la compta ![lol](img/smilies/lol.png)
Il n'y a pas de contradiction dans la situation, on a seulement tendance à se mélanger les pinceaux entre les données qui sont réellement dans le problème, et celles que l'on y rajoute. Magie des problèmes de proba.
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#12 - 28-11-2009 23:26:09
- hlbnet
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feux enveloppes
Donc, si l'animateur te donne l'enveloppe 1, tu choisis de partir avec la 2, mais s'il te donne la 2, tu préfères la 1.
Ce n'est peut-être pas contradictoire, mais au minimum, ça s'appelle avoir l'esprit de contradiction (en plus, vouloir contredire un tirage aléatoire, c'est un symptôme aggravé).
On va dire que c'est logique ... pour quelqu'un ayant un esprit de la contradiction suffisamment développé. Ou bien pour un curieux, qui voudrait bien savoir ce qu'il y a dans l'autre enveloppe.
On a vu aussi que les prudents choisissent de garder les 100 Euros, car ils n'ont pas confiance dans l'animateur.
Et un neurasthénique, il choisirait laquelle ?
S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)
#13 - 28-11-2009 23:52:09
- MthS-MlndN
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Deux envleoppes
Un neurasthénique ne se rendrait même pas compte de la présence de l'animateur ![lol](img/smilies/lol.png)
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#14 - 29-11-2009 15:13:59
- papiauche
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eDux enveloppes
Je change très légèrement la règle du jeu, je vous donne un euro en plus si vous ne changez pas d'enveloppe. Vous faites quoi?
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#15 - 29-11-2009 15:54:22
- MthS-MlndN
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deux envelopped
Je te recommande de mettre cet euro dans l'enveloppe vide, de t'en faire un rouleau, et de te gratter l'intestin avec ![lol](img/smilies/lol.png)
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#16 - 29-11-2009 21:25:46
- hlbnet
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deuc enveloppes
Je vous livre mon analyse.
Pour moi, ce problème est une version remaniée du classique problème de l'age du capitaine. Dans le fameux problème, on donne des indices comme par exemple la taille du capitaine, le poids du capitaine, l'age du bateau. Ensuite, on demande : Quel est l'age du capitaine ?
Certains essaient de mettre le problème en équation, en combinant les indices. Au mieux, il obtiennent des informations qui n'ont pas d'intérêt pour répondre à la question posée. Par exemple, l'indice de masse corporelle du capitaine peut être calculé à partir de sa taille et de son poids. Au pire, ils font des calculs totalement incohérents comme additionner l'age du bateau et la taille du capitaine.
En réalité, la bonne réponse au problème est qu'aucun indice donné dans l'énoncé ne permet de "mettre en équation" la question posée. La réponse à la question posée ne peut pas être déduite des données du problème.
Autrement dit, le joueur n'a pas d'autre alternative que de baser son choix sur des critères extérieurs au problème. Par exemple, s'il est curieux de savoir ce qu'il y a dans la seconde enveloppe, il va l'ouvrir. S'il craint qu'on lui ait menti au départ en disant qu'une enveloppe contient bien le double de l'autre, il va garder les 100 Euros. Ou bien, si il a un peu l'expérience de ce genre de jeu, il peut savoir qu'en général les joueurs gagnent moins de 100 Euros, auquel cas il choisira de garder la première enveloppe, sinon, il changera.
Comment prouver que ce problème est bien une variation du problème du capitaine ?
Pas évident. Ce qu'on attend de l'élève dans le problème de l'age du capitaine, c'est qu'il dise : "C'est impossible, on ne peut pas déterminer l'age du capitaine à partir des données du problème". Mais, on demande rarement à l'élève de prouver que c'est effectivement impossible.
D'ailleurs, comment expliqueriez vous a un élève qui chercherait désespérément à résoudre le problème de l'age du capitaine ... qu'il peut s'arrêter, qu'il n'aboutira pas. C'est clair que si l'élève fait un calcul foireux, vous pourrez vous engouffrer dans la brêche et dire "Là, t'as déconné, tu as additionné des carottes et des poireaux". Mais, tant qu'il fait des calculs valides, comment lui prouver qu'il se fatigue pour rien ?
Je pense qu'il faut démontrer que les indices contenus dans l'énoncé sont "déconnectés" de la question posée. J'essaie.
Au moment ou le joueur doit faire son choix (garder ou échanger), il sait que les enveloppes contiennent soit [100,50] soit [100,200]. Donc la question posée peut être reformulée ainsi : Les organisateurs du jeu ont-ils mis 50 euros ou bien 200 euros dans la seconde enveloppe ? Or, concernant cette question capitale, la seule qui permettrait de trancher, l'énoncé ne contient strictement aucun indice. Pas le moindre petit indice permettant de savoir s'il y a plutôt plus de chance que ce soit 50 plutôt que 200. Donc, le choix ne peut être que du pur hasard ou de l'intuition basée sur des éléments extérieurs à l'énoncé (sommes habituellement mises en jeu dans ce genre de jeu, risque de canular, etc).
S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)
#17 - 29-11-2009 21:32:21
- MthS-MlndN
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Deux envloppes
Va expliquer ta notion de "décision au hasard" à un compteur de cartes au black jack ![lol](img/smilies/lol.png)
Nous avons des données qui permettent d'obtenir des résultats en rapport avec le problème posé. La question qui divise principalement est au niveau du calcul de l'espérance : considère-t-on que le gain de 100 euros est plus important que la perte de 50 (auquel cas on sera tenté de changer d'enveloppe) ou bien considère-t-on juste "soit je gagne, soit je perds" (auquel cas aucune stratégie n'est conseillable plus que l'autre) ?
Aucune commune mesure avec un âge du capitaine. L'âge du capitaine est totalement séparé des données de départ ; ici, les données ne sont pas séparées de ce que l'on recherche.
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#18 - 29-11-2009 21:45:10
- hlbnet
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deux envelopoes
Si, les données sont séparée de la question précise posée, pas du problème en général.
La question précise, après analyse de toutes les données, c'est : La seconde enveloppe contient-elle 50 ou 200 ?
Sur cette question, aucun élément de l'énoncé ne permet d'avancer un quelconque élément probabilité.
Donc, seuls des éléments "extérieurs à l'énoncé" peuvent être invoqués.
Par exemple, si le joueur à justement besoin de 100 euros tout de suite pour se faire opérer d'une tumeur mortelle, il prendra les 100 euros et ne risquera surtout pas de prendre la seconde enveloppe.
Si le joueur est suffisament riche pour que la perte des 50 euros ne change rien à son quotidien, et s'il a confiance dans l'animateur, il choisira plutôt de changer.
Mais aucune stratégie ne peut maximiser son espérance de gain.
S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)
#19 - 29-11-2009 21:54:02
- MthS-MlndN
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Deux enveolppes
Ca, c'est une réponse parmi les deux possibles.
La question qu'on se pose est : statistiquement, quelle est la meilleure décision ? Si on décide de juste considérer "gain ou perte", alors aucune stratégie. Si on parle en espérance de gain, le changement d'enveloppe est statistiquement meilleur, indépendamment des autres éventuelles données du problème (dont celles que tu cites).
En disant "on n'a pas de réponse", ton raisonnement est binaire : je gagne ou je perds avec la même proba. On peut par contre se dire que, si on perd, on perd moins que ce qu'on gagne dans l'autre cas de figure, ce qui peut pousser à rejouer. Les deux raisonnements se valent, mais on est très loin de l'âge du capitaine...
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#20 - 29-11-2009 21:56:11
- hlbnet
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deux envelpppes
Non, j'insiste, en terme d'espérance de gain ... on ne peut strictement rien conclure de l'énoncé.
L'espérance de gain c'est : (probabilité pour que les organisateurs aient mis 50 euros dans la seconde enveloppe) x (-50) + (probabilité pour que les organisateurs aient mis 200 euros dans la seconde enveloppe) x 100.
Or, dans ce calcul, les deux probabilités sont totalement inconnues. Elles varient de 0 à 1, et leur somme vaut 1, c'est tout ce qu'on peut dire.
S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)
#21 - 29-11-2009 22:42:23
- scrablor
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Dux enveloppes
Au contraire, on peut en déduire que la probabilité que l'autre enveloppe contienne 200 vaut 1/3 et celle qu'elle contienne 50 vaut 2/3. Cela sous-entend qu'il y avait 2 fois plus de chances que l'organisateur choisisse le couple (50;100) plutôt que le couple (100;200). C'est la probabilité sur l'ensemble des couples (x;2x) qui ne peut pas être uniforme : sa densité est une fonction décroissante de x, avec d(2x)=p(x)/2, donc certainement une loi exponentielle.
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#22 - 29-11-2009 23:04:10
- kosmogol
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eux enveloppes
Vous avez oublié le fait que jamais on ne proposera une somme de 12,50 euros ! C'est ridicule, on met 10 ou 15 ! Donc sans hésitation je change ! (et pour ceux qui ne veulent pas changer je suis équiprobable, mais avec un petit plus;-))
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#23 - 29-11-2009 23:32:47
- hlbnet
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deux envzloppes
12.5, 10, 15 ... d'où ça sort tout ça !
Non, toutes ces probabilités et nombres ne découlent en rien de l'énoncé. Dans l'énoncé, on ne dit pas comment sont fabriquées les enveloppes, comment sont choisies les sommes en jeu. Il n'y a aucun moyen d'attacher une loi de probabilité aux sommes contenues dans les enveloppes.
En plus, tout cela est très intuitif, bon sang !
La stratégie consistant à garder les 100 euros signifie que le joueur accepte le résultat d'un tirage purement aléatoire (pile ou face).
La stratégie consistant à changer d'enveloppe signifie que le joueur inverse le résultat d'un tirage purement aléatoire (pile ou face). Cela revient juste à dire que si la pièce tombe sur face, on prend l'enveloppe 2 (au lieu de 1). Ben ... c'est toujours du hasard complet, c'est la pièce qui décide, non ?
S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)
#24 - 29-11-2009 23:39:05
- kosmogol
- Banni
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Deux enveolppes
Ok je me suis trompé j'étais parti dans un raisonnement avec une autre somme, désolé. Mais bon, quelle somme présente-t-on dans une émission télévisée : 100/200 ou 50/100, et bien moi je dis que l 100/200 a plus de chance d'arriver dans ce contexte ! Quelqu'un a une objection ? Quittez le monde des non sciences (celles ou l'infini existe ) pour rejoindre la réalité ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
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#25 - 29-11-2009 23:58:40
- hlbnet
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deix enveloppes
Ok, d'accord ... mais, pour conclure avec une espérance de gain, il faut aussi préciser dans quel rapport (100,200) aurait plus de chance que (100,50) d'être retenu par les organisateur.
Mais, quoi qu'il en soit ... on est bien en train d'utiliser des éléments extérieurs à l'énoncé.
D'ailleurs, on peut penser que pour être capitaine il faut avoir au moins 30 ans et maximum 60 ans. En mesurant l'IMC du capitaine (poids divisé par la taille au carré), on peut se dire que lorsque celle-ci est proche de 20-25, le capitaine à plutôt la trentaine, un IMC de 25-30 fait pencher vers la quarantaine, et au delà, il doit être proche de la retraite.
S'il n'y a pas de solution c'est qu'il n'y a pas de problème (Devise Shadok)
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