Wow, excellent sujet, je l'avais loupé celui là.
J'ai rien d'un mathématicien, et mon intime conviction a été plusieurs fois mise à mal, en particulier par cette partie de ton dernier message Hlbnet.

hlbnet a écrit:

Voici un autre calcul de probabilité, dis moi ce que tu en penses :

Au départ, on sait q'une enveloppe contient X et l'autre 2X et on ne sait rien sur X. En tirant au hasard, le joueur à une chance sur deux de tomber sur X et une chance sur deux de tomber sur 2X.

Calculons E1 l'espérance de gain du joueur, dans le cas ou il ne change pas d'enveloppe.
E1 = 1/2 * X + 1/2 * 2X = 3/2 * X
L'espérance de gain du joueur, en ne changeant pas d'enveloppe est égale à 3/2 X.

Calculons E2 l'espérance de gain du joueur, dans le cas ou il change d'enveloppe.
En changeant d'enveloppe, est-ce que le joueur augmente ses chances de tomber finalement sur 2X (ou X) ?
Non, les chances de tomber sur X ou 2X restent les mêmes, ça reste aléatoire, basé sur le tirage pile ou face de départ.
Donc, E2= 1/2 * X + 1/2 * 2X = 3/2 * X
L'espérance de gain du joueur, en changeant d'enveloppe est égale à 3/2 X.

Les deux stratégies conduisent donc à la même espérance de gain car E1=E2.

Ce qui (je pense) me gêne le plus, c'est que la seule donnée qu'on ait dans l'énoncée, c'est une somme X. 
A partir de là, il y a une chance sur deux d'avoir 1/2x dans l'autre enveloppe et une chance sur deux d'avoir 2x....(je connais pas les organisateurs, je me base strictement sur l'énoncé qui ne me permet pas de modifier cette proba, même le pile ou face, une fois dans cette situation n'a servi à rien...)
Dès lors, les deux tactiques à analyser sont
1°) Je change d'enveloppe, E1 = 1/2 * 1/2X + 1/2 * 2X = 5/4 * X (je crois)
2°) Je garde l'enveloppe, E2 = X

Ce qui me gêne donc, c'est quand on parle de probabilité que x=100€ ou de probabilité de tomber sur 2x....
il n'y a pas à se poser la question, il y a 100% de chances qu'on soit tombé sur X, vu qu'on a ouvert une enveloppe.  Et c'est là le point de départ de l'analyse, pas avant......  (ce n'est bien sûr que mon avis, mais je me retrouve donc dans le point de vue de Mathias....)

Flying_pyros a écrit:

L'espérance de gain n'a t-elle pas pour définition le fait d'être un gain moyen ?

Wiki a écrit:

L'espérance mathématique est, en probabilités, une valeur numérique permettant d'évaluer le résultat moyen d'une expérience aléatoire

Justement, Wikipedia ne dit pas que l'espérance mathématique est un résultat moyen mais permet de l'évaluer. D'ailleurs, plus bas dans le texte, Wikipedia fourni les formules qui permettent de faire le calcul.
Cela dit, j'ai eu comme un doute après ton objection parce que ça remonte à loin tout ça

hlbnet a écrit:

Lorsque tu dis :

50% de chance d'avoir X=100€
(et donc 2X=200€ dans l'autre enveloppe)

50% de chance d'avoir 2X = 100€
(et donc X=50€ dans l'autre enveloppe)

... je pense que tu viens d'introduire une probabilité (50%) qui n'est pas dans l'énoncé.

Ca découle pourtant directement de l'énoncé si tu suis les étapes 1, 2, 3 et 4.

Tu as 50% de chance d'avoir x dans la première enveloppe et 50% d'avoir 2x.
On te dit que la première enveloppe contient 100€ mais on ne te dit pas si c'est le plus petit ou le plus grand.
Tu as donc toujours les mêmes probabilités d'avoir x ou 2x dans la première enveloppe, à savoir 50%.

D'où il vient:

50% de chance d'avoir 100€ en tant que plus petite somme
et
50% de chance d'avoir 100€ en tant que plus grande somme

D'où encore:

50% de chance d'avoir x=100€
et
50% de chance d'avoir 2x=100€

Et finalement:

50% de chance d'avoir 2x=200€ dans la seconde enveloppe
et
50% de chance d'avoir x=50€ dans la second enveloppe

C'est limpide !!!

J'aurais peut)être du dire "probabilitiquement" mais ça n'existe pas alors je n'ai pas eu le choix

eh, comme joker, t'aurais du prendre le 50/50

Puisque ce problème semble vous passionner, je vous conseille la lecture de ça:

http://www.madore.org/~david/math/proba.html#game.sol

A partir de Des choix, des choix, et encore des choix

Ca reprend et complète tout ce qui a été dit ici.

Spoiler : [Afficher le message]
Sur simple demande, kosmo fournit l'aspirine ,
faut maintenir le relationnel inter-joueurs .

Franchement, croyez vous vraiment que la stragégie, suivante :

"Si la pièce tombe sur face, je prends l'enveloppe 2, si la pièce tombe sur pile l'enveloppe 1"

Permet de gagner en moyenne 25% de plus que celle là :

"Si la pièce tombe sur face, je prends l'enveloppe 1, si la pièce tombe sur pile, l'enveloppe 2".

Vous croyez vraiment qu'on peut mettre cette curiosité sur le compte d'une "mauvaise intuition" qui serait contraire aux "bonnes mathématiques" (comme les exemples qui sont dans l'excellent lien donné par patiauche).

Ne vous semble t-il pas clair, à cause de la symétrie du problème, pas par intuition, que les deux stratégies sont équivalentes et qu'aucune des deux ne permet d'augmenter l'espérance de gain ?

Pour moi, l'argument de symétrie du problème permet de conclure, sans le moindre calcul, que le calcul aboutissant au 25% de plus en changeant ne peut pas être correct !

En principe, je n'ai même pas à trouver ce qui cloche dans le calcul, puisque j'ai démontré par symétrie qu'il ne peut pas être correct !

Comme, malgré tout, j'essaie moi aussi de comprendre ce qui cloche dans ce calcul, je soupconne que c'est l'affirmation suivante qui n'est pas correcte :
"Une fois qu'on a trouvé une somme S dans la première enveloppe, les probabilités de trouver S/2 ou 2S dans l'autre enveloppe sont identiques (50% chacune)."

Si vous n'êtes pas d'accord, alors ... essayez au moins de décrire l'espace de probabilité dans lequel vous vous placez pour affirmer ça ?

hblnet a écrit:

Comme, malgré tout, j'essaie moi aussi de comprendre ce qui cloche dans ce calcul, je soupconne que c'est l'affirmation suivante qui n'est pas correcte :
"Une fois qu'on a trouvé une somme S dans la première enveloppe, les probabilités de trouver S/2 ou 2S dans l'autre enveloppe sont identiques (50% chacune)."

Non, on est tous d'accord pour dire qu'il y a equiprobabilité entre les deux solutions. Entre gain et perte, c'est du 50/50 (et rien à voir avec Jean Pierre )
Ce qui te donne une espérance de gain de 125, c'est le fait que la somme du gain soit plus élévée que la somme de la perte.
Si tu avais 50 dans une enveloppe et 150 dans l'autre, tu aurais toujours 50% de chance d'avoir un gain et 50% de chance d'avoir une perte mais vu les sommes engagées ici, ton espérance de gain serait de 100 (50%*50 +50%*150=100). Tu n'aurais donc pas intérêt à changer.
N'étant pas un as des maths, j'espère avoir été clair.

Alors là, je ne comprend pas ton point de vue...
Vanss et Mathias l'ont très bien expliqué...Lorsque tu n'as pas de données supplémentaires qui te permettent de déduire autre chose, la règle en mathématique est l'équiprobabilité.

FP, en fait, je soupconne que cette "équiprobabilité" est incorrecte. Car c'est la seule explication que je trouve, vu mon médiocre niveau en maths, pour dire que le calcul d'espérance de gain est faux.

Mais, ce qui me permet d'affirmer que le calcul est faux c'est la symétrie du problème. Il est clair pour moi, sans aucun calcul, que changer d'enveloppe n'améliore pas l'espérance de gain du joueur ... par symétrie.

Comme je l'ai dit ... est-ce à moi de trouver pourquoi le calcul est faux ... à partir du moment ou j'ai prouvé que le résultat est faux ?

hlbnet a écrit:

est-ce à moi de trouver pourquoi le calcul est faux ... à partir du moment ou j'ai prouvé que le résultat est faux ?

On peut cepandant montrer (c'est d'ailleurs un peu ce que tout le monde s'evertue à faire ^^) que ta démonstration qui affirme que le résultat est faux n'est pas correct ...

Ceci dit, je conçois tout à fait que pour certains, les maths parlent moins que l'intuition, c'est normal. Dans ce cas, le mieux est quand même de faire une simulation. Comme aucun animateur télé de m'a abordé 1 million de fois pour me poser cette question, il va falloir le faire par ordinateur. Le code ci-dessous (c#) permet de simuler 1 million de fois ce jeu. Voici les résultats (chaque ligne correspond à 1 million de tirages. Je pense que c'est sans appel

Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 124,87265% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 124,9949% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 124,89605% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 125,1245% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 125,1005% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 125,0468% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 124,90085% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 125,0138% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 124,94285% de plus en changeant d'enveloppe
Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne 125,0204% de plus en changeant d'enveloppe

  Random r = new Random();
  double resultatTotal = 0;
  int nombreDeCoups = 1000000;

  for (int i = 0; i < nombreDeCoups; i++)
  {
    // L'animateur prépare ses petites enveloppes
    int petiteSomme = r.Next(1000000);
    int grosseSomme = petiteSomme * 2;

    int enveloppe1, enveloppe2 = 0;
    if (r.NextDouble() < 0.5)
    {
      enveloppe1 = petiteSomme;
      enveloppe2 = grosseSomme;
    }
    else
    {
      enveloppe2 = petiteSomme;
      enveloppe1 = grosseSomme;
    }

    // Alors, monsieur le joueur, vous prenez quoi ?

    // Je prends l'enveloppe 1, Jean Pierre
    int monPremierGain = enveloppe1;

    // Bon, je change d'enveloppe dans ce cas, Jean Pierre
    int monGainFinal = enveloppe2;

    // Au final, en changeant, j'ai gagné combien, en proportion ?
    double monGainFinalEnProportion = (100* monGainFinal) / monPremierGain;

    resultatTotal += monGainFinalEnProportion;
  }
Console.WriteLine("Sur 1 million de fois, j'ai gagné en moyenne " + (resultatTotal/nombreDeCoups) + "% de plus en changeant d'enveloppe");

scrablor a écrit:

Mon cher scarta, tu viens de perdre superbement ton temps.

Ca c'est mon grand truc

scrablor a écrit:

Ta prétendue simulation ne prouve rien de plus puisque tu la fondes a priori sur une répartition fifty-fifty.

Je suis pas sur de comprendre, là...
Il n'y a qu'un seul endroit où je fait un 50-50 comme tu dit, c'est la ligne "if (r.NextDouble() < 0.5)" et c'est tout à fait justifié !!!

Il y a deux sommes A et B. Il y a aussi 2 enveloppes, 1 et 2. Soit je met A dans 1 et B dans 2, soit je met A dans 2 et B dans 1. 2 cas, pas plus pas moins.
Les deux cas sont équiprobables ou bien ce mot n'a plus de sens ! et jusqu'à preuve du contraire, quand il n'y a que 2 cas possibles et qu'ils sont équiprobables, alors leur probabilité est de 50% chacun.
Et toc !!!

La ligne "if (r.NextDouble() < 0.5)" dit exactement "je suppose l'équiprobabilité".

[MODE pseudo-scienfifique ON]

Je voudrais cependant proposer un curieux modèle : oublions qu'il s'agit de billets, prenons au hasard deux valeurs X et 2X réelles positives.
Ensuite, nous prenons l'arrondi à l'entier le plus proche.
Pour être dans le cas (50/100), la valeur prévue dans l'enveloppe n°1 devait être comprise entre 99,50 et 100,50.
Pour être dans le cas (100/200) il faut que cette valeur soit comprise entre 99,75 et 100,25 sinon le double ne serait pas arrondi à 200.
Comparons les deux intervalles : le premier est double du second, les probabilités seront donc dans le même rapport : 2/3 et 1/3.
Calculons alors l'espérance pour l'enveloppe n°2 :
50*2/3+200*1/3=100

Même espérance que pour l'enveloppe n°1 : au moins, cet équilibre est respecté.

[MODE pseudo-scienfifique OFF]

PS : inutile de m'expliquer mes erreurs, c'est une escroquerie (de plus ?).

Franchement, les gars.
On vous tends une enveloppe choisie au hasard parmis 2.
Vous inversez le choix fait au hasard en prenant celle qui n'a pas été retenue.
Ca change rien du tout, screugneugneu, vous n'augmentez pas votre espérance de gain !