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#1 - 15-01-2011 22:59:58
- shadock
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Limite de ll'année
C'est parce que j'ai adoré mon cours sur les dérivées A vos crayons :
Calculer la limite suivante [TeX] \lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h} [/TeX] Bonus : Spoiler : [Afficher le message] Pour ceux qui on encore envie de faire mumuse et qui trouve que c'est plus joli de généraliser [latex]\lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+h)^{n}-1}{h}[/latex] avec [latex]n \in \mathbb{N}[/latex]
Bonne chance à tous, enfin chance, vu le niveau qu'il y a ici ![roll](img/smilies/roll.png) Shadock
Excusez moi je me suis aperçu un peu tard que j'avais oublié un 1.
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#2 - 15-01-2011 23:46:52
- franck9525
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Limite de ll'année
quelque soit n, La limite tends vers + infini.
EDIT avec la soustraction du 1 au numérateur on obtient la définition de la dérivé de [latex]f(x)[/latex] [TeX]f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/TeX] Ici [latex]\rm x_0=0 et f(x)=(a+x)^n avec a=1 et f(0)=a^n=1[/latex]
La dérivée de [latex]\rm f(x) est f'(x)=n(a+x)^{n-1}[/latex] Donc [TeX]\rm f'(0)=n(a+0)^{n-1}=n.a (ou =n avec a=1)[/latex] qui est la limite recherchée
PS: Cette façon de résoudre des limites est une méthode qu'il est interessant de garder en mémoire pour l'appliquer pour d'autres cas d’indétermination de type 0/0. Quelques exemples:
[latex]\lim_{x\to 0} \frac {sin(x)}{x}[/TeX][TeX]\lim_{x\to 4} \frac {\sqrt{x}-2}{x-4}[/TeX][TeX]\lim_{x\to 0} \frac {e^x-1}{x}[/TeX] PPS: cette approche est une méthode vulgaire de la règle de l’hôpital avec g(x)=x
The proof of the pudding is in the eating.
#3 - 16-01-2011 03:45:48
- L00ping007
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Limite de l'nanée
Tu adoreras encore plus ton cours sur les développements limités ![smile](img/smilies/smile.png) [TeX](1+h)^{n} = 1 + nh + o(n)[/latex] pour h au voisinage de 0 donc [latex](1+h)^{n} -1 \underset{h\to0}{\sim\,} nh[/TeX] La limite cherchée est donc : n
#4 - 16-01-2011 07:46:13
- debutant1
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#5 - 16-01-2011 10:55:54
- fred101274
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Limitte de l'année
En utilisant le théorème de l'Hospital, on trouve immédiatement 2011 pour la première limite et n pour la généralisation.
On n’est jamais très fort pour ce calcul...
#6 - 16-01-2011 13:33:36
- Tromaril
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limite dr l'année
Bonjour,
[latex](1+h)^{2011}=1+2011h+h^2P(h)[/latex] où P est un polynôme de d° 2009
La limite demandée est donc 2011
#7 - 16-01-2011 14:45:29
- gabrielduflot
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limire de l'année
[TeX]{{(1+h)^n-1}\over h}={{1+nh+qh^2-1}\over h}=n+qh[/latex] d'où [latex]lim_{h->0}{{(1+h)^n-1}\over h}=n[/TeX]
#8 - 16-01-2011 15:21:44
- MthS-MlndN
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limite de l'annéz
Pas bien dur quand on se souvient du binôme de Newton... [TeX]\begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{\left( \sum_{i=0}^{2011} \binom{2011}{i} h^i \right) -1}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \sum_{i=0}^{2010} \binom{2011}{i+1} h^i \\ &= \sum_{i=0}^{2010} \binom{2011}{i+1} 0^i \\ &= \binom{2011}{1} \\ \lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h} &= 2011 \end{align}[/TeX] La généralisation est vite faite ![lol](img/smilies/lol.png)
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#9 - 16-01-2011 16:03:15
- Klimrod
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limite de l'abnée
Ca ressemble à un exo classique de math.
Il faut développer [latex](1+h)^n = somme(Cn,k * h^n)[/latex]. Quand h tend vers 0, la limite de l'expression proposée vaut donc [latex]Cn,1[/latex], soit [latex]n[/latex].
Pour n=2011, la réponse attendue est donc 2011.
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#10 - 16-01-2011 16:56:48
- gwen27
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limite dr l'année
(1+ h)^n = 1 +nh + ...h^2+...h^n
((1+h)^n - 1 ) /h= n + (ah+bh^2 .....)
Quand h tends vers zéro, la limite tend vers n
#11 - 16-01-2011 21:36:05
- gasole
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Limite dde l'année
Wolfram Alpha est vraiment un bel outil, il trouve n, comme moi :-)
![http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-wolfram.JPG](http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-wolfram.JPG)
#12 - 16-01-2011 21:46:17
- scarta
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Limite de l'annéée
Bon alors [latex](1+h)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^kh^k = \sum_{k=2}^{n}C_n^kh^k + hC_n^1+1 = \sum_{k=0}^{n-2}C_n^{k+2}h^{k+2} + hn + 1=\\ h^2.f(h) + hn + 1[/latex] f étant un polynôme de degré n-2 dont on se fiche pas mal. [TeX]\frac{(1+h)^n-1}{h} = h.f(x) + n[/TeX] Donc, quand h tend vers 0, notre expression tend vers n.
#13 - 17-01-2011 06:00:50
- irmo322
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limite de m'année
(1+h)^2011-1 =[(1+h)-1][(1+h)^2010+(1+h)^2009+...+1] =h[(1+h)^2010+(1+h)^2009+...+1]
Donc: [(1+h)^2011-1]/h =(1+h)^2010+(1+h)^2009+...+1
Et ça tend vers 2011 quand h tend vers 0.
#14 - 17-01-2011 10:07:35
- Nicouj
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limite de l'abnée
Le binôme de Newton simplifie le -1 et le /h on obtient C_n_1 +h*(...) qui tend vers C_n_1 = n quand h tend vers 0
#15 - 17-01-2011 14:20:54
- Milou_le_viking
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LLimite de l'année
Hello,
J'obtiens 2011 mais c'est pas bon alors je vais bouder. [TeX]\lim_{ h\to 0 } \frac{\left ( h+1 \right )^{2011} - 1}{h}[/TeX][TeX]= \lim_{h \to 0}\frac{\sum_{i=0}^{2011}\binom{2011}{i}h^{2011-i}-1}{h}[/TeX][TeX]= \lim_{h \to 0}\frac{\sum_{i=0}^{2009}\binom{2011}{i}h^{2011-i}+\binom{2011}{2010}h^{2011-2010}+\binom{2011}{2011}h^{2011-2011}-1}{h}[/TeX][TeX]= \lim_{h \to 0}\sum_{i=0}^{2009}\binom{2011}{i}h^{2010-i}+2011[/TeX] [latex]=2011[/latex]
Ah ben c'est accepté maintenant.
#16 - 17-01-2011 19:53:41
- Nombrilist
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Limiite de l'année
2011 ! Ouaiiiiiis, trouvé du premier coup. Mais j'ai pas compris l'histoire des dérivés.
#17 - 18-01-2011 11:57:52
- halloduda
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Limitee de l'année
Déjà répondu avec le champ "valider", ne semble pas avoir été pris en compte. La réponse est 2011.
#18 - 18-01-2011 14:38:25
- naddj
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Limite de l'aannée
Je découvre le latex, parce que c'est tout moche sinon...
En passant par les développements limités en 0 de [latex](1+h)^n[/latex]
On a : [TeX] \underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+h)^n-1}{h} = \underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{1+nh+o(h)-1}{h}
\underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+h)^n-1}{h} = \underset{h \rightarrow 0}{lim} n+o(h)
\underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+h)^n-1}{h} = n[/TeX] Donc : [TeX]\underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h} = 2011[/TeX]
#19 - 18-01-2011 15:17:35
- Jackv
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imite de l'année
(1 + h)^n = 1 + n * h + des termes en h² ... h^n Si on retranche 1 et que l'on divise par h il reste : n + des termes en h ... h^(n-1) Quand h tend vers 0 tous les termes en h^x tendent vers 0, et la limite tend vers n, soit, ici, 2011.
#20 - 18-01-2011 23:34:40
- shadock
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limite de l'anbée
La réponse est bien 2011, la définition de la dérivée suffisait emplement, j'ai fais un raisonnement similaire à celui de @Frank9525 :
franck9525 a écrit:EDIT avec la soustraction du 1 au numérateur on obtient la définition de la dérivé de [latex]f(x)[/latex] [TeX]f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/TeX] Ici [latex]\rm x_0=0 et f(x)=(a+x)^n avec a=1 et f(0)=a^n=1[/latex]
La dérivée de [latex]\rm f(x) est f'(x)=n(a+x)^{n-1}[/latex] Donc [latex]\rm f'(0)=n(a+0)^{n-1}=n.a (ou =n avec a=1)[/latex] qui est la limite recherchée
PS: Le binôme de Newton et les DL, je m'en passe très bien ![cool](img/smilies/cool.png)
Bravo et Merci à tous !! Shadock ![smile](img/smilies/smile.png)
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#21 - 18-01-2011 23:40:58
- L00ping007
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limite se l'année
Disons pour être tout à fait précis, que le développement limité est issu du calcul des dérivées successives, c'est un outil qui est donc plus fort. Donc je dirai plutôt qu'en utilisant le développement limité, je me passe du calcul de la dérivée ![smile](img/smilies/smile.png)
#22 - 18-01-2011 23:50:25
- gasole
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lilite de l'année
Je trouve la variété des réponses, qui sont justes en plus, extraordinaire ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
#23 - 18-01-2011 23:53:42
- shadock
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limite de l'abnée
Surtout la tienne mais c'est vrai que les maths c'est un ensemble de raisonnements différents qui permettent de trouver une réponse à un problème.
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#24 - 19-01-2011 02:09:36
- L00ping007
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Limite de l'annnée
Une autre ?
On pose [latex]r=1+h[/latex] [TeX]f(h)=\frac{(1+h)^n-1}{h} = \frac{r^n-1}{r-1}[/TeX] On reconnaît la somme d'une suite géométrique : [TeX]f(h)=\sum_{k=0}^{n-1} r^k[/TeX] Avec r qui tend vers 1 quand h tend vers 0, on voit bien que f(h) tend vers n.
Oups, démonstration déjà évoquée, au temps pour moi, j'ai rien dit ![smile](img/smilies/smile.png)
on pourrait aussi par les exponentielles, mais après, c'est pour les mouches ... ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
#25 - 19-01-2011 13:33:24
- MthS-MlndN
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limite fe l'année
T'as raison, elles morflent assez comme ça ![lol](img/smilies/lol.png)
halloduda a écrit:Déjà répondu avec le champ "valider", ne semble pas avoir été pris en compte.
Pas de validation de réponse sur les forums comme sur les énigmes officielles : les réponses se font à la main, la barre réponse permet juste de vérifier qu'on a trouvé la bonne réponse.
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