Si on parle d'entiers naturels, c'est simple, il suffit de decomposer 2011 en nombres qui soit le plus pres de 'e'.
donc autant de 3 que l'on peut, et on finit avec des 4 ou des 2.

soit 2011 = 3+3+3+3....+3+3+2+2 ( avec un total de 669 trois, et 2 deux)
produit = 6.254309931e+319

4*3^669 me semble pas mal

2011=3+2+2+2+...+2 (1004 fois)
Produit=3*2^1004=beaucoup !

Je complète ma réponse.

SOLUTION AVEC TERMES NON ENTIERS

On consière un nombre A (ici A=2011) et on cherche le découpage idéal de A en une somme de n termes pour maximiser le produit.

Il n'est pas dit que ces termes doivent être entiers.

Montrons que si 2 termes différents apparaissent, alors la solution n'est pas optimale : si A = B + p + q, avec pour produit P1 = PB x p x q alors A = B + (p+q)/2 + (p+q)/2 et P2 = PB x ((p+q)/2)² = P1 + p² + q² donc P2 > P1.

Donc tous les termes doivent être identiques. Ils seront égaux à A/n. Et la produit P(n) = (A/n)^n

Pour trouver la valeur de n qui maximise P(n), on pose t=A/n et on étudie la fonction f(t) = ln (P(n))=A/t ln(t)
f'(t)=A/t² (1-ln (t)), qui s'annule pour t=e=2,718... qui correspond bien à un maximum.

L'optimal est donc d'avoir n termes de valeurs e.
rem : on remarque que la valeur de l'élement de la découpe optimale ne dépend pas de A.

Le découpage optimal ci-dessus accepte n non entier, ce qui n'est sans doute pas la réponse attendue.
Il faut donc choisir entre n1 = ent(A/e) et n2 = ent(A/e) + 1, qui sont automatiquement les valeurs entières de n donnant un maximum (vu les sens de variation de f).

A.N.
A = 2011, n1 = 739, f(A/n1) = 17,974...
A = 2011, n2 = 740, f(A/n2) = 17,954...
Donc l'optimum est trouvé pour 739 termes de valeurs 2011/739=2,7212...
Le produit correspondant P1 = 1,9646 10^321

SOLUTION AVEC TERMES ENTIERS

Montrons que la solution optimale est bien 4 x 3^669.

Supposons que 2 entiers p et q avec un q-p>1 apparaissent dans le découpage, on peut remplacer par p+1 et q-1, puisque (p+1)(q-1) = pq + q - p - 1 > pq.

Donc il ne peut apparaitre que 2 nombres m et m+1.

Pour tout k>4, k<(k-2) x 2, donc aucun nombre supérieur ou égale à 5 n'apparait.
Donc m=2, 3 ou 4. Mais m=4 est impossible avec A=2011 car 2011 n'est pas divisible par 4 (et donc il y aurait un 5 au moins).

Donc m = 2 ou m = 3

La solution optimale s'écit donc 2^i x 3^j (car pour m=3 m+1=4=2+2=2x2)

Comme 2^3 < 3^2, 2 apparait au maximum 2 fois.

Donc i=0 ou i=1 ou i=2.

Seul j=669 (pour i=2) est solution entière de 2011=2 x i + 3 x j.

D'où la solution...


Comparée à la solution non entière, la solution entière donne un produit P2 = 6,2543 10^319 qui est 31,41 fois plus petite.

Bonjour,

3+2+2+2+2+2+2+...+2
3*2*2*2*2*2*2*2*...*2
1er terme = 3,
2e --> 1006e terme=2

Si je ne me suis pas gouré

2*2*3^669

6,2 10^370 quand même

Au feeling et sans preuve (faut que j'aille préparer à dîner) je dirais qu'il faut privilégier au maximum le nombre de multiplications, et donc prendre
[TeX]2011 = 3 + (2+2+...+2) = 3 + 2\times 1004[/TeX]
qui donnera comme produit : [latex]2^{1005}[/latex] qui est bien trop grand pour être affiché mais est approximativement égal à : [latex]5.14\times 10^{302}[/latex] ce qui fait beaucoup.

En fait, avec [latex]2011 = 4 + (3+3+...+3) = 4 + 3\times 669[/latex] on fait mieux :[latex] 6.25\times 10^{319}[/latex], au-delà de 3 ça décroît...

3+3+........+3+2+2=2011
[latex]3^{669}\times2^2[/latex] sera le plus grand nombre

(2^1004)*3

Indice pour ceux qui cherchent encore...
Remplacez 2011 par 14

@dhrm autant pour moi je n'avais pas vu! Ceci dit il date de 2007 donc je suis excusé je ne suis pas là depuis autant de temps...
Sinon c'est bien sur des termes entier que je demandais, merci pour la remarque!

@le singe  Tu te complique la vie! Cherche pour 14 et tu devrai trouver...