l'éponge de menger serait de dimension 2,5... aspirine!!!!
la définition même de 'dimension' a été maintes fois changée et remise en cause

Déjà si on y réfléchit un petit peu , remplir l'espace avec des points sans épaisseur , ça fout la trouille

Après , on rentre dans des considérations mathématiques et il faut revenir aux strictes définitions si on ne veut pas retomber dans tous les paradoxes connus .

J'ai toujours trouvé absolument fabuleuse l'idée de Cantor de comparer les infinis , mais il faut vraiment y mettre les formes

Vasimolo

Le problème c'est que l'infini soit ça aide outrageusement soit ça emm**de tout le monde. Il suffirait pourtant, pour régler cela, de supprimer le symbole "∞" de la table de caractères Windows ET ON EN PARLE PLUS !

D'ailleurs, histoire d'arrêter avec les énigmes et autres questionnements probabilistes, faisons de même avec Omega.

Non c'est juste se demander si la droite est réunion des ces points... Il y a aussi la courbe de Péano qui est donc une courbe est passe par tous les points d'un carré.

Le problème sera bientôt réglé de toute façon, la nouvelle convention de Genève sur les mathématiques et leurs usages devrait considérer comme impossible (au même titre que la division par zéro) toutes opérations et théorème non destinés à calculer ses impôts. (j'utilise rarement infini pour mes impôts, par contre, souvent dans un univers de possibles)

C'est là que ça se passe Nodgim.

Pour répondre à l'interprétation physique dont tu me parles dans l'autre topic :
Pourquoi tu nous parles alors de durée en math??? Je voulais te montrer justement que cela n'a pas d'importance, personnellement je me moque du nombre de particules de l'univers.
Quant à ta limite je vais y réfléchir.

nodgim,

Il apparait à la lecture de tes posts que tu te trouves dans une situation délicate.
Tu as assez de connaissances mathématiques pour te poser des questions pointues mais pas encore assez pour y répondre.
Pourtant crois-moi (crois-nous), toutes ces questions sont résolues de façon satisfaisantes.

Dans ton cas, je peux t'expliquer la raison, c'est la même démonstration que pi=2 avec des demi-cercles. Mais je crains que tu ne mettes encore en doute tous ceux qui ne sont pas d'accord avec toi.
Enfin, essayons.

Dans ton cas tu appliques (peut-être sans le savoir, comme M. Jourdain), le théorème d'inversion des limites. Le problème vient que dans ton cas, les hypothèses d'application du théorème (convergence uniforme) ne sont pas réunies et donc le théorème ne s'applique pas.

La longueur se définit comme une intégrale. Tu construis une suite de courbes approchant le segment et tu calcules pour chacune l'intégrale qui donne sa longueur. Et tu poses implicitement que l'intégrale de la limite de la suite de fonctions est égale à la limite des intégrales pour chaque fonction. Tu inverses le signe intégral et la limite. Cela n'est pas possible car il n'y a pas convergence uniforme de la suite de fontions vers le segment. Mais ce sont des maths un peu difficiles.

A propos du reste de la discussion: les paradoxes impliquant le temps viennent de ce qu'on a encore plus de mal à appréhender le temps comme un objet mathématique que les points et les droites par exemple. En particulier un écoulement non régulier de celui-ci ou une densité de temps non homogène.
Utiliser le temps lorsqu'on a des difficultés avec l'espace est vraiment difficile. Mieux vaut d'abord régler ses problèmes avec l'espace

Salut Yanyan,

Je ne crois pas qu'il y ait convergence absolue "le long de la courbe".
La longueur est calculée par une intégrale curviligne "le long de la courbe" (c'est à dire suivant une paramétrisation de la courbe" et non "le long de l'axe des abscisses" et dans ce cas, cela ne marche pas à cause de l'infinité de points de rebroussements et "d'exceptions locales". La convergence uniforme à considérer n'est donc pas celle le long des ordonnées |(fn(x)-0|.
Celle-ci est en effet acquise, ce qui d'ailleurs permet l'interversion des limites pour le calcul de la surface pour laquelle on a bien 0=0.

Voici aussi un lien qui en parle:
http://eljjdx.canalblog.com/tag/Paradoxe

Et puis s'il y avait convergence absolue, le théorème s'appliquerait et on aurait pi=2

D'accord avec rivas quand il dit qu'il me manque du bagage mathématique pour appréhender ces choses bizarres autrement que par l'intuition.

Pour Péano: son algo marche avec un compteur. Si on veut qu'il remplisse le plan, il faut qu'après le zéro initial il donne le second chiffre qui est le plus petit nombre identifiable juste après le zéro et de sorte qu'aucun nombre ne puisse être intercalé entre le zéro et lui. C'est évidemment impossible.

Soit le segment compris entre 0 et 1. Ôtons le zéro: quel est le premier point qui démarre le segment ? Ce point n'est pas identifiable par lui même, on sait juste dire "c'est le premier après le zéro". Et le second point ? Pareil, c'est le second point après le zéro et n'est pas identifiable par lui même. Ainsi de suite.

Donc, à mon sens, les points sur une droite sont des repères, rien de plus. Entre ces repères, c'est le flou du continu. Et on caractérise un segment par sa longueur, distance entre 2 points donnés. Perso, je ne trouve pas de sens à "tous les points d'un segment": c'est de l'infini certes mais je le distingue du segment lui même. C'est la raison pour laquelle je ne crois pas aux possibilités de sauter d'une dimension donnée à une dimension supérieure.

L'escalier qui a pour longueur 2 mais à qui on attribue une longueur rac2 quand il y a une infinité de marches est sûrement ce qui me choque le plus dans la construction mathématique qui impose cette assertion. Car ce rac2 est le résultat de "l'apparence globale" de la forme de l'escalier et on fait comme si l'escalier redevient une droite. Or ce n'est plus une droite à partir du moment ou on a décidé que c'était un escalier.

Comme vous pouvez le constater ce sont des réflexions très personnelles et qui n'engagent que moi. Je sais bien que les constructions mathématiques disent tout le contraire.

Pour que cela soit des fonctions il faut coucher notre droite!
Et se placer par exemple dans [latex]C[0,\sqrt{2}][/latex].

@nodgim: l'escalier n'a pas une longueur 2. Il n'a jamais une longueur 2. Chaque itération de l'escalier à une longueur [latex]\sqrt2[/latex]. L'escalier "ressemble" macroscopiquement de plus en plus au segment de longueur 2 mais n'est JAMAIS le segment de longueur 2. Et si tu "zoomes" tu trouveras toujours beaucoup de différence entre les deux justifiant cet écart de longueur.
Il n'est PAS VALIDE de considérer qu'à un certain moment une itération de l'escalier peut-être confondue avec le segment.
L'écart entre l'escalier et le segment diminue mais il y a de façon équivalente de plus en plus de zones d'écart ce qui se compense en quelque sorte.

Il n'y a donc rien de choquant pour moi.

Si tu veux une autre image: Plus on écrase l'escalier sur le segment plus il y a de petites bosses qui "emmagasinent" de la longueur.

Je ne sais plus comment trouver d'autres images