f(x) = a x   avec a^4 = a^3 +2 soit , a=-1 : f(x) = -x


Un doute , je teste donc  x^4= x^3+2  :
L'autre solution, je vous laisse traduire ( merci Wolfram, il ne pouvait pas y en avoir qu'une...):

Le s autres étant imaginaire, on laisse tomber.
PS : remplacer x par a, je me suis trompé dans les variables.

J'ai pensé à une fonction tout simplement linéaire, de la forme [latex]f(x) = kx[/latex] (qui est bien une application de [latex]\mathbb{R}[/latex] vers [latex]\mathbb{R}[/latex], avec k un réel. En remplaçant l'expression de la fonction dans [latex]fofofof(x)=fofof(x)+2x[/latex], on a :
[TeX]k^4x = k^3x + 2x[/TeX]
[TeX]k^4 - k^3 - 2 = 0[/TeX]
Une solution évidente de l'équation est [latex]-1[/latex]. En factorisant, par [latex](k+1)[/latex], on obtient : [latex]k^4 - k^3 - 2 = (k+1)(k^3 - 2k^2 + 2k - 2)[/latex], et ce ne serait pas étonnant que le polynôme du troisième degré en facteur ait une racine lui aussi. Il n'y a donc pas qu'une fonction qui satisfait à [latex]fofofof(x)=fofof(x)+2x[/latex] (et peut-être y a-t-il d'autres fonctions que des linéaires qui conviennent ici ).

Quant à moi, je propose [latex]f(x) = -x[/latex].

Alexein41.

je proposerais bien :[latex]f(x)=-x[/latex]

La solution n'est pas unique, si on note [latex]\lambda[/latex] l'unique réel racine de [latex]P=X^3-2X^2+2X-2[/latex] alors [latex]f(x)=\lambda x[/latex] fonctionne aussi :
[TeX]fofofof(x)-fofof(x) = \lambda^4 x - \lambda^3 x[/TeX]
[TeX]=x(\lambda^4-\lambda^3)[/latex]   (*)

Par ailleurs, [latex]\lambda[/latex] vérifie :
                    [latex](\lambda+1)(\lambda^3-2\lambda^2+2\lambda-2)=0[/TeX]
donc (en développant) :
[TeX]\lambda^4-\lambda^3=2[/TeX]
En revenant à (*) il reste :
                  [latex]fofofof(x)-fofof(x) = 2x[/latex]