C'est ça Mathias, mais pas obligé de le faire à la main

Pour avoir les deux triangles rectangle du bas , 3-4-5  ou 8-6-10 , 5-12-13 ... toujours une seule solution....

Le premier entier admettant deux solutions entières est  25 pour le losange.

Pour les dimensions en bas : 7 et 24 , 15 et 20 .
Ce qui donne en haut : "je cherche encore "   (Je dirais 19 20 21 à vue de nez en divisant 2*625 par 3)

Périmètre : 20+15+24+7+21+22+23 = 132

Il s'agit de trouver un entier qui apparaît dans au moins 4 triplets pythagoriciens (A046081).
Le plus petit entier répondant à ce critère est 12, avec les triplets (5,12,13), (9,12,15), (12,16,20) et (12,35,37).
C'est lui qui donne a priori le plus petit périmètre avec 150.

Après un MP de looozer, je me sens un peu crétin de mon erreur.
Bon je recommence :

Il s'agit de trouver un entier qui apparaît comme longueur de l'hypothènuse dans au moins 4 triplets pythagoriciens (A046080).
Le plus petit entier répondant à ce critère est 65, avec les triplets (39,52,65), (33,56,65), (25,60,65) et (16,63,65).
C'est lui qui donne a priori le plus petit périmètre avec 344.

Très sympa.
(et j'adore le titre, même si ça n'a pas grand chose à voir avec l'énigme ^^)

Bravo à MthS-MlndN, seul à avoir trouvé pour l'instant.

C'est vrai, personne d'autre n'a trouvé ? o_O'

La réponse est en lien avec l'entier n² le plus petit se décomposant en somme de huit carrés distincts.

Je n'ai pas encore trouvé cet entier.

Il doit y avoir une ruse que je ne vois pas??

Je nomme les longueur des segments a,b,c,d,e,f,g,h en partant du point en haut au centre et en tournant dans le sens trigo et l la longueur du côté du losange.
Je cherche 4 triplets de pythagore dont le 3ème terme est le même:
[TeX]a^2+b^2=l^2[/TeX]
[TeX]c^2+d^2=l^2[/TeX]
[TeX]e^2+f^2=l^2[/TeX]
[TeX]g^2+h^2=l^2[/TeX]
Avec les conditions: a,b,c,d,e,f,g,h,l et a+h tous différents (faut-il inclure a+h)?
Je trouve:
(16,63,65)
(25,60,65)
(33,56,65)
(39,52,65)
a+h dépend du placement des côtés.
Pour ressembler le plus à la figure présentée ci-dessous (tailles dans le même ordre), on peut donc prendre par exemple les côtés dans l'ordre suivant:
16,63,33,56,52,39,60,25
Dans ce cas le segment du haut entre les points extrèmes vaut 41 qui est bien différent des autres.

On demande le périmètre: 16+63+33+56+52+39+60+25=344

Amusant comme énigme. Merci.
La forme me fait penser à un calamar. C'est grave docteur?

Bonnes réponses de franck9525 et rivas

(certains donnent le périmètre du losange, d'autres celui du polygone "calamar", mais ce n'est pas là l'important)

halloduda : tes réponses sont trop grandes.

Je dirais 5568.
1105²=1073²+264²=817²+744²=1104²+47²=576²+943².
Le 1105 se calcule comme le produit des 3 triangles rectangles minimaux différents:
(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17).

C'est ok pour Franky1103 aussi.

Pour en finir avec l'usage de l'informatique sur ce sujet et pour expliquer ce qui se passe:
Tout d'abord, tout nombre premier de forme 4k+1 est somme de 2 carrés de manière unique (c'est du Fermat je crois):
5=1²+2²
13=2²+3²
17=1²+4²
etc...
D'autre part, le produit de 2 nombres somme de 2 carrés est lui même somme de 2 carrés:
Si p1=a²+b² et p2=c²+d²
p1*p2=(ac+-bd)²+(ad+-bc)² ce qui donne 2 solutions si p1 et p2 différents.
Mais si p1=p2 alors un seul résultat est valable:
p=a²+b² et donc p²=(a²-b²)²+(2ab)²

Donc pour trouver la décomposition en somme de  2 carrés d'un carré d'un nombre premier p², p de forme 4k+1, il suffit de trouver la décompo de p. Pour cela aligner les n² succéssifs modulo p et  trouver les 2 premiers nombres opposés.
Pour 29 par exemple:
1 4 9 16 25.. se traduit modulo 29 en :1 4 9 -13 -4
4 et -4 étant opposés, leur somme est nulle modulo 29, leur somme vaut 29:
29=5²+2²
et donc 29²=(5²-2²)+(2*2*5)²=21²+20²

On arrive donc rapidement à trouver la décompo de 5², 13², 17², 29², etc...
et donc les triplets des triangles entiers dont on a besoin:
(3,4,5)(5,12,13)(8,15,17)....
Ensuite pour trouver les combis, il suffit soit de multiplier terme à terme:
pour 5*13=65 on multiplie (3,4) par 5 et (5,12) par 13 et donc ça donne les 2 triplets nouveaux (39,52,65) et (25,60,65).
Soit d'utiliser la forme décrite ci dessus (ac+-bd)²+(ad+-bc)² ce qui donne 2 autres triplets (16, 63, 65) et (56,33,65).

Donc pour un nombre P qui est produit de n nombres premiers de forme 4k+1, alors le nombre de triangles rectangles dont P est l'hypothénuse vaut:
(3^n-1)/2.
13 pour un produit de 3 nombres, 41 pour 4 nombres, 121 pour 5 nombres.....