Le coefficient de $n^k$ n'est pas toujours $\frac{1}{2}$.

Wikipedia propose une démonstration par récurrence, en utilisant une égalité somme/intégrale :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_(ari … .27entiers

D'accord avec Yanyan sur ce coup là (sorry Mathias)


Preuve: On commence par remarquer que
$$\int_0^{n+1}{x^k.dx}=\frac{(n+1)^{k+1}}{k+1}[/latex], mais aussi [latex]\int_0^{n+1}{x^k.dx}=\sum_{i=0}^n{\int_i^{i+1}{x^k.dx}}$$ $$\int_i^{i+1}{x^k.dx} = \frac{(i+1)^{k+1}-i^{k+1}}{k+1} = i^k+...$$
(on ne garde pour l'instant que le terme de degré k)
Du coup
$$\frac{(n+1)^{k+1}}{k+1} = \sum_{i=0}^n{i^k+...}= \sum_{i=0}^n{i^k}+\sum_{i=0}^n{...}$$
Si on admet que $\sum_{i=0}^n{i^k}$ est un polynôme de degré k+1, alors le coefficient du monôme de degré k+1 est $\frac{1}{k+1}$ par identification.
Ok, ça n'était pas la question, mais c'est un résultat préliminaire.

On recommence tout pareil, mais en détaillant un peu plus les '...'
$$\int_i^{i+1}{x^k.dx} = \frac{(i+1)^{k+1}-i^{k+1}}{k+1} = i^k+\frac{k}{2}i^{k-1}+...$$
(inutile de considérer les monômes de degré inférieur à k-1, leur somme donnera un polynôme de degré k-1 au plus)



Du coup
$$\frac{(n+1)^{k+1}}{k+1} = \sum_{i=0}^n{i^k}+\frac{k}{2} \sum_{i=0}^n{i^{k-1}}+\sum_{i=0}^n{...}$$
On refait une identification des coeffs pour le monôme de degré k cette fois. Ca nous donne:
$$n^k = X.n^k + \frac{k}{2}.\frac{1}{k}n^k$$
où X est le coefficient dans le polynôme de $\sum_{i=0}^n{i^k}$.
Pour le polynôme de $\sum_{i=0}^n{i^{k-1}}$, on a déjà vu que le coefficient du monôme de degré k est 1/k (cf. le résultat préliminaire).

De là, il ressort que X=1/2, CQFD

il suffit de considerer P(1)...

Du coup, je vais relire ce topic a tête reposée, car je ne comprends toujours pas la question

ça me rassure, mais moi je ne vais même pas essayer de le relire, je n'ai rien compris à la réponse

OK, je m'étais juste planté de puissance