Si tu mets un 10 tout le temps. Ce sont les deux autres joueurs qui choisissent qui gagnent, ou plutot s'ils perdent !
Ex : A = 10
Si B joue 10, c'est C qui gagne le pot
Si C joue 10, c'est B qui gagne.
Si aucun des deux ne jouent 10, c'est A qui gagne.
Donc B ou C ne peuvent gagner tout seul, mais peuvent faire gagner l'autre. (au detriment de A)
Bref, je serais plutot tenter de dire qu'un joueur seul ne peut pas gagner, mais que 2 joueurs peuvent plumer le 3ième.
Ex : B joue 10 et C joue 9, dans tous les cas, l'un des deux va gagner et A perdra de l'argent à chaque tour !
B et C se partagent les gains et repartent chacun avec la moitié de A (qui ne manquera pas de leur mettre une bonne droite pour se venger !)

Alors :
- pas de stratégie non aléatoire optimale comme le dit Yuka
- jouer 8 ou moins est absurde. En effet, les cas sont les suivants:
* les deux ont joué 10 ==> tout, sauf 10 te fait gagner, inutile de jouer moins de 9
* un des deux a joué X et l'autre 10 ==> dans tous les cas tu perds
* aucun n'a joué 10 ==> 10 est gagnant

vue la symétrie et le coté somme nulle, la stratégie optimale sera la même pour tous. Il faut donc trouver p la proba de jouer 10 telle qu'il soit équivalant en terme de gain espéré de jouer 9 et 10. De cette facon, chacun aura intérêt à maintenir cette stratégie.

- proba que les 2 autres aient joué 10 => p²  : dans ce cas, 9 est gagnant
- proba que les 2 autres aient joué 9 => (1-p)² : dans ce cas 10 est gagnant
- proba que ce soit 9 et 10 : 2 p (1-p) : dans ce cas, équivalant

Il faut donc que p=0.5 pour que ce soit équivalant. la stratégie optimale est donc de tirer une pièce : pile , je joue 10, face je joue 9

(Je peux m'etre planté, je suis crevé)

Sinon, avec une "alliance", en effet, ca change pas mal la donne.

PS: comme ca on a une chance sur 4 de gagner, et il y a donc une chance sur 4 que tout le monde réponde pareil. Dans ce cas, qui gagne?

Ca ne change rien en fait.
Quelle que soit la somme en jeu, la stratégie est la même. D'ailleurs dans mon calcul, la valeur de la somme mise en jeu n'entre pas en compte, il faut juste qu'elle soit positive.

Le pire: si on suppose que la somme est juste jetée par la fenêtre si tout le monde a joué pareil, il reste intéressant de suivre cette stratégie (sauf si on a le droit de ne pas jouer, bien sur), car toute autre stratégie est potentiellement "encore plus perdante".

nicolas ==> en fait ma stratégie est "la bonne" dans le cas où il n'y a pas de collusion. Typiquement si les 3 ne peuvent communiquer et que le jeu est joué une seule fois. Cependant, il est clair que la stratégie où A joue toujours 10 et B toujours 9 est optimale pour tous deux. Mais pour celà, il faut qu'ils se soient mis d'accord en communiquant, ou même tacitement.

Il y a un cas amusant: A MONTRE sa carte, un 10. Sachant celà, B et C ne peuvent plus jouer 10 car ce serait perdre à coup sur. A gagnera toujours. (sauf si les deux font une collusion, là encore)
Bon c'est un peu tiré par les cheveux ca.


Tout dépend des "règles" que l'on se fixe.

pierreM a écrit:

Alors :
- pas de stratégie non aléatoire optimale comme le dit Yuka
- jouer 8 ou moins est absurde. En effet, les cas sont les suivants:
* les deux ont joué 10 ==> tout, sauf 10 te fait gagner, inutile de jouer moins de 9
* un des deux a joué X et l'autre 10 ==> dans tous les cas tu perds
* aucun n'a joué 10 ==> 10 est gagnant

vue la symétrie et le coté somme nulle, la stratégie optimale sera la même pour tous. Il faut donc trouver p la proba de jouer 10 telle qu'il soit équivalant en terme de gain espéré de jouer 9 et 10. De cette facon, chacun aura intérêt à maintenir cette stratégie.

- proba que les 2 autres aient joué 10 => p²  : dans ce cas, 9 est gagnant
- proba que les 2 autres aient joué 9 => (1-p)² : dans ce cas 10 est gagnant
- proba que ce soit 9 et 10 : 2 p (1-p) : dans ce cas, équivalant

Il faut donc que p=0.5 pour que ce soit équivalant. la stratégie optimale est donc de tirer une pièce : pile , je joue 10, face je joue 9

J'ai un peu du mal a exclure le 8 tout de meme.
Je suis d'accord qu'intuitivement, hors alliance et en supposant que chaque joueur adopte la strategie qu'il juge la meilleure et n'en change pas, il semble que le pile ou face pour choisir entre 9 et 10 semble la meilleure solution.

Cependant, supposons que A et B choisissent cette strategie.

Si C adopte la meme strategie, alors A,B,C ont 25% de chance de l'emporter et 25% des parties sont a rejouer.

Si C joue toujours 9, on a les memes resultats
Si C joue toujours 10, pareil
Si C joue 9 avec une probabilite p = 1/3 et 10 avec 1-p, idem
Si C joue 9 avec une probabilite p = 2/3 et 10 avec 1-p, rebelote

Si C joue toujours 8, alors A et B gagnent dans 25% des cas chacun et C dans 50%
Si C joue 8,9 ou 10 apres tirage au sort avec equiprobabilite on obtient A et B = 25%, C = 33% et 16% des parties sont a rejouer.

Du coup je me dis que le 8 a peut etre un petit role a jouer dans l'histoire.

Apres je suis evidemment d'accord que jouer un chiffre de 1 a 7 n'apporte rien de plus.

pierreM a écrit:

Klimrod ==> Non. Si B adopte cette stratégie, C:
- peut faire de même et gagner à une chance sur 4 à une chance sur 3
- peut trahir et jouer 9 et gagner à une chance sur 2

@PierreM : Non. Si C envisage de trahir et de jouer 9, alors il doit aussi envisager que B va trahir et jouer 9 en faisant le même raisonnement. Je maintiens que sa seule bonne stratégie est de remonter sa probabilité à 1/3 en jouant à pile ou face entre 9 et 10 et en pariant que B fera pareil, parce que c'est son intérêt à lui aussi.

Quoique...

C'est vrai que c'est plus compliqué que ça...
Si on se met à la place de B et qu'on voit le 10 retourné par A, on peut se dire qu'il est stupide de jouer 10 car on est à peu près sûr de perdre (sauf si C joue également 10). Il vaut donc mieux jouer 9, car on va gagner à une chance sur 2 (dépendant du jeu de C entre 9 et 10).
Le problème, c'est que C va réaisonner pareil et jouer également 9. Tu as raison : A va gagner.
Et le pire, c'est que le coup suivant, ça sera pareil !

Si A montre son 10, je ne vois pas l'intérêt de jouer 8.
Le jeu de 8 astucieusement imaginé par Yuka, n'a d'intérêt que dans la règle initiale où A ne montre pas sa carte...

Si A retourne sa carte qui est un 10, on se retrouve simplement face a un dilemne du prisonnier.

Si B et C jouent 9, le gain est (-1,-1)
Si B joue 9 et C joue 10, le gain vaut (2,-1)
Si B joue 10 et C joue 9, le gain vaut (-1,2)
Si les deux jouent 10, le gain vaut (0,0)

Sur un one-shot, il vont tous les deux dire 9 et laisser A gagner car ils auront tendance a trahir

Si le jeu se repete il semblerait que p=p'=1/4 soit la meilleure solution pour B et C qui gagneraient chacun 3 parties /16, A gagnerait 1/16 et le jeu recommencerait 9 fois / 16

Attention, je n'ai pas pris en compte le fait que la somme en jeu double quand il y a egalite, et finalement je me dis que dans ce cas la ca change beaucoup de choses en fait.

Ah et le coup du 8, n'intervient que si A ne montre pas sa carte bien sur.

Yuka2, ta solution fait intervenir la collusion, car elle ne marche que si B et C se mettent d'accord pour utiliser la même loi p et p'.

En effet supposons A joue toujours 10, B joue 10 3 fois sur 4 et 9 1 fois sur 4.
Au vu de tes résultats je pense jusque là être conforme à tes hypothèses.
Et bien dans ce cas C à intérêt à tout miser sur le 9. Il gagnera 3 fois sur 4 et A gagnera 1 fois sur 4.

En effet la solution que nous proposions ne marche que pour un nombre faible de coups, où on ne peut pas utiliser de stratégie de type "engagement".
Le fait de jouer toujours pareil revient un peu à ce que je proposais: montrer sa carte!

Le 8 intervient lorsu'il y a peu de jeux et pas de collusion si tous les joueurs sont rationels et utilisent une stratégie optimale. Si A et B ont donné leur stratégie, il est évident que la stratégie de C est changée
C'est la stratégie optimale A PRIORI, donc sans aucune information. Après si on a de l'information, ca change la donne, et la stratégie de collusion devient la meilleure.
Une fois de plus , tout dépend des limites que l'on se fixe.
L'information peut aussi bien être "A joue toujoues 10", "B m'a dit de jouer 9 et 10 en alternance" ou autres. Dès lors tout est changé

Et puis chose à laquelle je n'avais pas pensé, on peut très bien ne jouer que le 8 comme tu l'as suggéré plus haut.

Face à des adversaires qui utilisent ta technique "optimale", on gagne 1 fois sur 2 et chacun des 2 adversaires gagne 1 fois sur 4.

Il existe donc une stratégie gagnante face à ta stratégie "optimale", ce qui va à l'encontre de la définition d'une stratégie optimale.