Effectivement, c'est simple, mais encore faut-il y penser!
Je propose la démarche suivante:
On prend huit allumettes, et on en fait un carré.
Puis on prend les dix autres et on en fait un parallélogramme.
On agence ce dernier de façon à ce que son aire [latex]\mathcal A[/latex] soit de l'ordre de grandeur de celle du carré, et on y touche plus.
Maintenant, on va transformer le carré en losange en variant un de ses angles, disons [latex]\alpha[/latex]. Son aire vaut [latex]4\sin\alpha[/latex].
Il ne reste plus qu'à résoudre l'équation suivante:
[latex]\mathcal \sin\alpha=\frac{\mathcal A}{4k}[/latex], où [latex]k[/latex] est un entier qui représente le rapport des aires des deux polygones. On peut donc choisir l'entier aussi grand que l'on veut!

Une solution plus géométrique... C'est bien plus dur, du coup, mais j'ai fini par y arriver. Voilà une solution, avec un bonus... En fait, on peut trouver aussi des rapports de 13, 15, 17, ..., 37. 37 étant le rapport maximum, je pense...
Sur une ligne, le polygone de gauche est à associer avec tous les autres (qui sont composés du même nombre d'allumettes).
A l'intérieur de chaque polygone, le nombre représente l'aire.
Ca m'a bien amusé ce problème, la combinatoire qui se cache derrière est intéressante et très complexe.
Merci.

On prend 4 allumettes et on fait un quadrilataire.
Avec les 14 autres on fait un polygone de 14 cotés.
On peut faire varier a l 'envie l'aire de chacun entre leur aire maximale (en formant des polygones réguliers) et 0. 
On obtient ainsi tous les rapports d'aire que l'on veut.
Un p'tit coup de théorème de la valeur intermédiaire devrait monter ça proprement.

des triangles equilatéraux?

Voilà diverses solutions parmi toutes celles existantes :


Il n'y a pas d'angle droit

Sinon il est possible de former un polygone ayant 13 fois l'aire de base en prenant comme polygone de base un triangle formé par trois allumettes. Je pense qu'on ne peut pas aller au delà de 13.

Excellentes réponses de luthin et du singemalicieux

Bonne réponse aussi de Nicouj

je fourni également ma version un peu scabreuse faute de temps



Merci pour votre participation et surtout à Franck9525 d'avoir posté cette énigme