soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1
alors  [latex](n-1)n(n+1)(n+2)[/latex]=[latex](n^2-1)(n^2+2n)[/latex]=[latex]n^4+2n^3-n^2-2n[/latex]
=[latex]n^4+2n^3-n^2-2n+1-1[/latex]=[latex](n^2+n-1)^2-1[/latex]

cqfd

On a l'identité:
n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n+1)^2-1
Ce qui démontre le résultat.
Je dois avouer que je ne me suis pas trop fatigué: j'ai simplement tapé dans le logiciel Maple V la commande:

factor(n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1);

je prends le produit de 4 entiers consécutifs et je fais apparaitres 2 égalités remarquables de type (a-b)(a+b)
[TeX]n(n+1)(n+2)(n+3) =
((n+\frac{3}{2})-\frac{3}{2})((n+\frac{3}{2})-\frac{1}{2})((n+\frac{3}{2}) +\frac{1}{2}) ((n+\frac{3}{2})+\frac{3}{2}) =
((n+\frac{3}{2})-\frac{3}{2})((n+\frac{3}{2})+\frac{3}{2})((n+\frac{3}{2}) -\frac{1}{2}) ((n+\frac{3}{2})+\frac{1}{2}) =
((n+\frac{3}{2})^2- \frac{9}{4})((n+\frac{3}{2})^2- \frac{1}{4})=
((n+\frac{3}{2})^4-\frac{10}{4}(n+\frac{3}{2})^2+\frac{9}{16}=
((n+\frac{3}{2})^4-2\times\frac{5}{4}(n+\frac{3}{2})^2+(\frac{5}{4})^2 -1=
((n+\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}))^2-1=
(n^2+3n+2)^2-1
[/TeX]
Le produit de 4 entiers consécutifs à partir de n est bien le carré moins un de l'entier [latex](n^2+3n+2)[/latex].

n(n+1)(n+2)(n+3) = ((n(n+3)) ((n+1)(n+2)) =
= (n^2+3n)(n^2+3n+2) = ((n^2+3n+1)-1) ((n^2+3n+1)+1)) =
= (n^2+3n+1)^2 -1

Quelque soit n, n(n+1)(n+2)(n+3) est bien égal à un carré moins 1 et le nombre élevé au carré est égal à  n^2+3n+1

Remarque préliminaire 1 :
Pour tout x, x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = (x²+x)(x²+5x+6)+1 = x⁴+6x³+11x²+6x+1 (en développant).

Remarque préliminaire 2 :
Pour tout x, [(x+1)²+x]² = [x²+3x+1]² = x⁴+6x³+11x²+6x+1 (en développant).

Remarque préliminaire 3 :
Pour tout x entier relatif, x+1 est un entier relatif, donc [(x+1)²+x] est un entier relatif.

Conclusion des deux remarques :
Pour tout x entier relatif, le produit de lui-même et de ses trois successeurs x(x+1)(x+2)(x+3) est égal à un carré parfait moins 1 :
x(x+1)(x+2)(x+3) = y²-1 avec y = [(x+1)²+x].

Remarque subsidiaire :
Le carré parfait recherché est celui de la somme du premier nombre et du carré du second.

Enfin un MMM pas trop dur, ça repose

Ma démo (que j'ai déjà envoyée par mail) : si on a quatre entiers négatifs, c'est comme s'ils étaient tous les 4 positifs vu que les signes "-" s'annulent. Si on a des positifs et des négatifs, alors on a 0 au milieu, le produit fait 0=1²-1, youpi.

Plus qu'à faire la démo pour les positifs. On prend n>0.
[TeX]n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1[/TeX]
Si c'est le carré de quelque chose, ce sera le carré de (n²+bn+1) avec b entier. Un exemple quelconque donne b=3, et on vérifie que (n²+3n+1)² vaut bien ce qui est ci-dessus, CQFD.

EDIT : J'ai même parfait ma solution depuis :
[TeX]\begin{align*}
n(n+1)(n+2)(n+3) &= \left[ n(n+3) \right] \left[ (n+1)(n+2) \right] \\
&= (n^2+3n)(n^2+3n+2) \\
&= \left[ (n^2+3n+1)-1 \right] \left[ (n^2+3n+1)+1 \right] \\
n(n+1)(n+2)(n+3) &= (n^2+3n+1)^2 - 1 \\
\end{align*}
[/TeX]

Posons que le deuxième de ces quatre entiers naturels consécutifs soit a.
Nous devons donc nous pencher sur le produit de : a-1 ; a ; a+1 et a+2

Le produit de ces quatre nombres est :
[TeX](a-1) (a+2) a (a+1)
(a^2 + a - 2) (a2 + a)[/TeX]
on pose [latex]b = a^2+a[/latex] : Si a est entier, alors b l'est aussi.
Le produit de ces quatre nombres devient :
[TeX](b-2)b[/TeX]
Soit [latex]b^2 - 2b[/latex]

Admettons que le résultat soit un carré parfait diminué de 1 : soit [latex]x^2-1[/latex]
donc : [latex]b^2-2b=x^2-1[/latex]
[TeX]b^2-2b=x^2-1[/TeX]
Je vais maintenant opérer de façon géométrique :


Voilà [latex]b^2[/latex], et [latex]b^2-2b[/latex] :
On voit bien qu'il manque [latex]1[/latex] à [latex]b^2-2b[/latex] pour être un carré !

Excusez ma non conformité mathématique...

Si on part depuis le debut...
si on prend a=le premier nombre de la serie.
le produit des quatre nombre est:
a(a+1)(a+2)(a+3)=
a(a+3) * (a+1)(a+2)=
(a^2+3a) * (a^2+3a+2) =
si on remplace a^2+3a+1 par b, on a:
a(a+1)(a+2)(a+3)= (b-1)(b+1)
on sait que (b-1)(b+1)=b^2-1
donc a(a+1)(a+2)(a+3)= b^2-1