Par exemple il y a la suite $u_1=9971,u_2,...,u_k,...$ qui semble avoir la propriété suivante : pour tout entier $k\geq 1$ l'entier $u_k$ est le début de l'entier $u_{k+2}$.
Je l'ai vérifié jusqu'à $u_{41}$ mais ça reste à prouver.

On trouve de nombreux exemples de ce genre, et même avec des périodes autres que 2.

Effectivement c'était facile à justifier !
On dira qu'un entier $u_1$ est étrange de période p entier >=1 si dans la suite engendrée $u_1,u_2,...,u_n,...$ l'écriture de $u_{1+p}$ est le prolongement  l'écriture de $u_1$. Dans ce cas, en faisant la même preuve que nodgim, on en déduit que pour tout entier k>=1, l'écriture de $u_{k+p}$ est le prolongement  l'écriture de $u_k$.
Tout descendant d'un entier  étrange de période p est aussi  étrange de période p.
Il y en a donc une infinité d'entiers étranges, puisque 9971 est étrange.
Tout entier périodique est étrange.

On dira qu'un entier étrange $u_1$ est primitif s'il n'existe pas d'entier étrange $u_0$ dont $u_1$  soit le suivant.
Les entiers périodiques ne sont pas étranges primitifs.
Il semble qu'il n'y ait qu'un nombre fini d'entiers étranges primitifs. Je suis en train de les déterminer.