Par exemple il y a la suite [latex]u_1=9971,u_2,...,u_k,...[/latex] qui semble avoir la propriété suivante : pour tout entier [latex]k\geq 1[/latex] l'entier [latex]u_k[/latex] est le début de l'entier [latex]u_{k+2}[/latex].
Je l'ai vérifié jusqu'à [latex]u_{41}[/latex] mais ça reste à prouver.

On trouve de nombreux exemples de ce genre, et même avec des périodes autres que 2.

Effectivement c'était facile à justifier !
On dira qu'un entier [latex]u_1[/latex] est étrange de période p entier >=1 si dans la suite engendrée [latex]u_1,u_2,...,u_n,...[/latex] l'écriture de [latex]u_{1+p}[/latex] est le prolongement  l'écriture de [latex]u_1[/latex]. Dans ce cas, en faisant la même preuve que nodgim, on en déduit que pour tout entier k>=1, l'écriture de [latex]u_{k+p}[/latex] est le prolongement  l'écriture de [latex]u_k[/latex].
Tout descendant d'un entier  étrange de période p est aussi  étrange de période p.
Il y en a donc une infinité d'entiers étranges, puisque 9971 est étrange.
Tout entier périodique est étrange.

On dira qu'un entier étrange [latex]u_1[/latex] est primitif s'il n'existe pas d'entier étrange [latex]u_0[/latex] dont [latex]u_1[/latex]  soit le suivant.
Les entiers périodiques ne sont pas étranges primitifs.
Il semble qu'il n'y ait qu'un nombre fini d'entiers étranges primitifs. Je suis en train de les déterminer.