1 ) Oui. 999 1818 999 ....
2 ) aucun vu que toute puissance de 10 engendre une suite finie.
3 ) je tente 10 avec  23140
4 ) je dirais 999

Effectivement, tous les nombres des 991 à 999 marchent.

Et 6 avec 120210 ... 32231 ... 5454 ... 999

Bonsoir,

nodgim #1 a écrit:

On arrête si on tombe sur un chiffre unique.

Est-ce que ça veut dire que le nombre est composé d'un nombre impair de chiffres, ou d'un seul chiffre ?
Dans le second cas, quel est le successeur de 41113 ?

@ Enigmatus, j'ai rectifié l'énoncé pour éviter l'ambiguïté.
41113
5224
746
1110
221
43
7
fin.

@Portugal

Pour le 1):
C'est OK, tu as trouvé des suites périodiques que je n'avais pas vues.

Pour le 2)
OK

Pour le 3)
La question porte sur la somme des chiffres du nombre, pas sur son nombre de chiffres.   

Pour le 4)
il y a mieux.

La théorie de cet algorithme est compliquée (par exemple, peut on deviner pour un nombre n s'il va donner une suite finie ou infinie ?) et toutes les idées  sont bonnes à prendre.

@Enigmatus et @tous,

Pour le 3) et 4),  la question porte sur le plus petit nombre qui donne une suite infinie non périodique, c'est à dire divergente. En gros, il y a des suites qui convergent, des suites périodiques et des suites divergentes.

Sinon, Enigmatus, pour le reste c'est OK.

Bravo Enigmatus, tu as trouvé plus petit que le mien !

Ah oui. À la 7ème itération, on obtient 18169. À partir de là, on a une succession de nombres commençant alternativement par 997 et 1816.

Exact. Ça ne démontre que le fait qu'on ne puisse finir avec un seul chiffre.

1) Existe t'il une suite périodique ?
Le plus petit nombre donnant une suite périodique est 991.
Il donne la suite périodique
[TeX][991, 1810, 991,...][/TeX]
Elle est périodique de période 2.

Le plus petit nombre donnant une suite périodique à partir d'un certain rang est 1082.
Il donne la suite
[TeX][1082, 1810, 991, 1810,...][/TeX]
A partir de 1810 on retombe sur la suite précédente.

2) Quel est le plus grand nombre qui donnera une suite finie ?
Il n'y a pas de plus grand nombre donnant une suite finie.
En effet pour tout entier r>=0, on a la suite finie
[TeX][10^r,  10^{r-1}, ..., 1000, 100, 10, 1][/TeX]
3) Quelle somme de chiffres minimale doit comporter un nombre pour obtenir une suite infinie non périodique ?
L'entier [latex]100100000[/latex] donne une suite non périodique à partir d'un certain rang.
La somme de chiffres minimale est donc égale exactement à [latex]2[/latex].

Preuve. En effet si u_1=100100000, on a u_{18}=13171412121211
Et si on se restreint à la fin 12121211 de u_{18}, on part de 12121211 .
Or soit un nombre v_1 de 2r chiffres formé d'entiers 12 consécutifs et terminé par 11,
son suivant v_2 est formé de 2r-2 chiffres 3 suivi de 2, en tout 2r-1 chiffres ;
donc v_3 est formé de 2r-3 chiffres 6 suivi de 5, en tout 2r-2 chiffres ;
donc v_4 est formé de 2(2r-4) entiers 12 suivi de 11, en tout 2(2r-3) chiffres .
Par suite si r<2r-3, c-à-d si r>3, la suite commençant à v_1 est infinie non périodique à partir d'un certain rang.
cqfd

4) Quel est le plus petit nombre qui engendre une suite infinie non périodique ?
Je montre d'abord l'existence de suites non périodiques à partir d'un certain rang.
Considérons un entier [latex]u_1[/latex] de longueur k formé de k chiffres 9.
Le suivant [latex]u_2[/latex] sera formé de k-1 entiers 18 mis bout à bout, donc aura 2k-2 chiffres.
Le suivant [latex]u_3[/latex] sera donc formé de 2k-3 chiffres 9 mis bout à bout.
Or on a k<2k-3 si k>3. Par suite si [latex]k\geq 4[/latex], le nombre de 9 dans [latex]u_{2r+1}[/latex] augmente strictement.
Donc si [latex]k\geq 4[/latex] on obtient une suite infinie non périodique à partir d'un certain rang
[TeX][9999, 181818, 99999, 18181818, 9999999, 181818181818, 99999999999,...][/TeX]
La suite commençant à 1496 est peut-être infinie et non périodique à partir d'un certain rang. Encore faudrait-il le démontrer...
Et alors (facile à vérifier) 1496 serait le plus petit nombre ayant cette propriété.

Pensées de dernière minute ..

A) Conjecture "un peu" argumentée : 2 est le minimum de somme  des chiffres pour une suite divergente

11 (0...0)   (0 répété n fois avec n suffisamment grand pour toujours avoir un 0 de libre avant que la partie avant du nombre ne diverge par lui même.

PS : on peut partir de  : 1  (0...0) 1 (0...0)  avec suffisamment de zéros dans les 2 bloc pour que le 1 du milieu se reproduise à toute allure.


en notant *une serie de 0 assez longue
1*1*  ---> 1*11*  ---> 1*121*---- > 1*131* ---------->1*191*
-----> 1*1101*  ---->1*1211* ---->  1*13321*  --->1*146231* ---->
-----> 1*1510854*   ----> 1*16618139*

et on sent bien entre l'allongement moyen du bloc non nul combiné à l'augmentation de la somme des chiffres un sentiment de divergence

Au bout d'un moment, on n'aura plus besoin des zéros autour (c'est déjà la cas semble il ) mais il vont s'autodétruire quand leurs réserves seront épuisées...


Si c'est solution, on a déjà montré que 1 ne marche pas car 10^k -->10^(k-1)

B ) En partant de 1991 qui etait mon "best" l'idée est :

-c'est forcément un nombre de 4 chiffres donc le 1 est forcément bon
-le dernier chiffre ne compte "qu'une fois" dans la somme mais ne coûte pas grand chose donc il est possible qu'il faille le remonter ou pas.
Il faut faire baisser en priorité le premier chiffre intermédiaire pour minimiser le nombre
Avec cette piste on commence par tester

1891 ---> 91710 --->10881 --->18169 ---> 99715 et le grossissement des chiffres et du nombre de chiffre indique une divergence possible

1791--->81610 --->9771 ---->16148 --->77512 --->141263 --->55389 --->1081117 ca semble bon

1691 --->71510 --->8661 --->14127 --->5539 --->10812 --->1893 --->91712 --->10883 --->181611  --->99772   ca semble bon

1591 --->61410 --->7551 --->12106 --->3316 --->647 ca semble mauvais

On fait baisser le 3eme chiffre pour voir
1681 --->7149 --->8513 --->1364 --->4910 --->13101--->4411--->852 qui semble mauvais

En conclusion, je trouve comme plus petit nombre conjecturé 1691

Voir à ce lien
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 34#p188071
les réponses aux questions 1) à 4) mises hier sur le forum.
Il me reste une preuve à faire pour la question 4).
Un délai supplémentaire serait judicieux...

Preuve. Posons [latex]u_1=1496[/latex] . On calcule [latex]u_{35}[/latex] et on constate que ce nombre a 102 chiffres et contient dans son écriture la séquence 7777 .
Or soit un entier n composé de r chiffres 7 consécutifs ;
son suivant est composé de r-1 entiers 14 consécutifs, donc a 2r-2 chiffres ;
son suivant est composé de 2r-3 chiffres 5 consécutifs ;
son suivant est composé de 2r-4 entiers 10 consécutifs, donc a 4r-8 chiffres ;
son suivant est composé de 4r-9 chiffres 1 consécutifs ;
son suivant est composé de 4r-10 chiffres 2 consécutifs ;
son suivant est composé de 4r-11 chiffres 4 consécutifs ;
son suivant est composé de 4r-12 chiffres 8 consécutifs ;
son suivant est composé de 4r-13 entiers 16 consécutifs, d'où 8r-26 chiffres ;
son suivant est composé de 8r-27 chiffres 7 consécutifs.
Par suite si r<8r-27, c-à-d 7r>27, c-à-d r>= 4, la suite commençant à n = 777..7 est infinie non périodique à partir d'un certain rang.
En particulier la suite commençant par 7777 est infinie non périodique à partir d'un certain rang.

Et comme [latex]u_{35}[/latex] contient 7777 dans son écriture, on en déduit que la suite commençant en [latex]u_1=1496[/latex] est infinie non périodique à partir d'un certain rang.
Et alors (facile à vérifier) 1496 est le plus petit nombre ayant cette propriété.
cqfd