En tant qu'habitué de ce site, et au vu de tes interventions, il ne doit pas y avoir pour toi de problème de niveau scolaire. Cela dit, c'est un peu comme pour la géométrie, il y a une démarche très particulière à suivre.

Nombrilist: non, ce n'est pas u5.
La limite est tout de même un nombre rationnel, ce qui n'est pas forcément évident au premier abord.

Y a de l'idée. Mais je répète, la limite n'est pas u5 (il te suffit de tester avec un tableur pour t'en convaincre).

Non, c'est une unité de moins. Comment as tu programmé ton tableur ? Une seule équation suffit.
Attention, j'ai dû écrire 2 fois ce sujet à 15 mn d'intervalle, vérifier les valeurs.

Puisque ça semble un peu brutal, je vous propose de réfléchir d'abord à cette autre suite plus simple:
u1=13
u2=19
un=u(n-1)/2+u(n-2)/2.

Essayer déja de démontrer la convergence et ensuite trouver la limite.
Remarquer que la somme des coefficients est tjs 1, c'est indispensable dans la recherche de la limite.

Halloduda,
Le niveau requis pour venir à bout de cette enigme ne dépasse le niveau collège. Point besoin de matrice ni de tableur. Dans les réponses déja données, il a été fait mention de moyenne pondérée, et le calcul de la limite est bien une forme de moyenne pondérée. Mais il faut au préalable bien comprendre le mécanisme des échanges.
Je vais donner du temps supplémentaire. Essayez de vous y mettre, ça en vaut la peine, c'est un beau problème, avec un résultat bien propre.
Je rappelle que la clé est la somme des coeff égale à 1.

Je pense que tout se joue dans les 5 premier tours :

Le premier nombre n'emporte que 11% du gâteau
le second 30 + 11
le troisième 23 + 30 +11
le quatrième 19 + 23 + 30 + 11
le dernier 100 %

Si bien qu'une fois le dixième terme atteint, chaque nombre initial aura son poids inchangeable. Les autres auront tous un poids de 100% et donc ne feront que pondérer la moyenne plus ou moins vite.

La série converge alors petit à petit vers un terme stable vu qu'elle revient à une sorte de moyenne. La somme des coefficients étant 1, elle s'arrêtera à cette moyenne quand cinq termes consécutifs auront la même valeur ou convergera petit à petit.

Soit
19*11=209
25*41=1025
17*64=1088
72*83=5976
43*100=4300

Total : 12598 à diviser par 11+41+64+83+100=299

La suite converge vers 42,13377626421404682.......

Dans ton second exemple, elle s'arrète à (19*1 + 33*2 )/3

Et pour la preuve de la convergence ?

Ca c'est un truc que je n'ai jamais compris.

Ton problème est intéressant. J'imagine quand même qu'il y a un théorème ou deux sur le sujet.
La somme de coefficients qui vaut 1, ça m'évoque d'emblée un barycentre.
On calcule le "barycentre" de nos 5 poids alignés sur la droite des réels, on prend le dernier des poids (le plus "vieux") et on le replace à l'endroit voulu. Et on continue...
Il me paraît presque évident que cela va converger : à partir du moment où les coefficients sont tous positifs, la "barycentre" ne peut se situer hors du plus petit segment incluant ses 5 générateurs. A partir de là, le plus petit segment ne peut que rétrécir.
Quelle sera la limite ? Je dirais bien autour de 40, mais je n'en sait strictement rien.
Même sur ta suite simplifiée, je cale un peu. Ca va tourner autour de 17. On bouge tour à tour chacun des poids en l'approchant de la moitié de la distance qui les séparent. Forcément, on converge. A noter d'ailleurs que (16,19) ne donne pas le même résultat que (19,16) !
Je suis curieux de voir une solution sans tableur... Je m'en vais d'ailleurs faire quelques recherches, voire tabler un peu !

Seul Gwen a trouvé une grande partie de la réponse. Voici comment j'ai vu les choses pour ce problème.

D'abord, la preuve de la convergence:
72, la plus grande quantité, peut être décomposée comme suit:
72= 0.11*72+0.3*72+0.23*72+0.19*72+0.17*72.
Pour former u6, on ne prendra de 72 que 0.19*72. Le 0.17*72 est remplacé par 0.17*43, forcément plus petit. Idem pour les 3 autres parts.
u6 est donc plus petit que 72. Selon le même raisonnement, u6 est plus grand que 17, la plus petite valeur des 5 termes.
On peut en faire une généralité: les valeurs max et min des 5 derniers termes qui servent à construire le terme suivant sont incluses dans une fourchette toujours plus fine.
On ne peut pas imaginer une limite sup et une limite inf; En effet, à l'infini, lorsque ces limites seraient atteintes, la démonstration ci dessus indique que le terme suivant serait à l'intérieur de la fourchette. Il n'y a donc qu'une seule limite vers laquelle on converge.

Quelle valeur de convergence ?
Imaginons les termes de la suite comme des récipients remplis de la quantité d'eau égale à leur valeur.
Pour remplir le récipient 6, on prend une portion de chacun des 5 récipients précédents. On notera tout de suite que le récipient ne donnera que 0.11 fois sa quantité à u6, et ensuite plus rien. De même le récipient 2 donnera seulement 0.3* 25 à u6 et 0.11*25 à u7, soit 0.11+0.3=0.41. Quant au récipient 5, il donnera toute son eau aux récipients u6 à u10. Et les récipients suivants donneront toute leur eau aux 5 récipients qui les suivent.
La quantité d'eau totale qui sera utilisée dans les échanges sera, à partir de u10:
Q=0.11*19+(0.11+0.3)*25+(0.11+0.3+0.23)*17+(0.11+0.3+0.23+0.19)*72+43=125.98.

Cette quantité est inchangée pendant tous les transferts et se répartit en 5 récipients. Quand on a rempli le récipient u_n, le récipient u_(n-5) est vide.
On cherche la valeur de convergence M.
Lorsque la valeur de convergence est atteinte, la répartition du liquide dans les 5 récipients successifs est la suivante:
-0.11M
-(0.11+0.3)M
-(0.11+0.3+0.23)M
-(0.11+0.3+0.23+0.19)M
-M

En remplissant le récipient suivant, on se rend compte qu'on aboutit à la même répartition.
D'où on tire la valeur de M:
Q=M(4*011+3*0.3+2.023+0.19+1)=M*2.99
M=Q/2.99=42.13377926.

La généralisation se fait facilement pour toute suite de cette forme dont la somme des coefficients est 1.

J'ai tout compris mais pour les 2 dernières lignes, ça ne devrait pas être :
" Q=M(4*0.11+3*0.3+2*0.23+0.19+1)=M*2.99
M=Q/2,99=42.13377926 " ?

Y'a que des erreurs de tape pour l'avant dernière ligne mais la dernière je ne sais pas si j'ai raison ...

Oui, bien sûr, il y en a. Par exemple l'intervalle entre 0 et 1+1/2. Les segments suivants peuvent être 1+1/4, 1+ 1/8, 1+1/16,... dont la longueur tend vers 1.