Bonjour,

Désolé, j'ai écris au fur et à mesure que je complétais ma pensée, c'est donc un peu décousu...

cherchons d'abord u1
notons le ab
on sait que a + b = 7
u2
s(ab + 7) = 5
plusieurs cas possibles:
a + b + 7 = 5 <==> a + b = -2 (pas possible)
a + 1 + b - 3 = 5<==> a + b = 7 oui
de plus, b est supérieur à 3, a est inférieur à 8
1 + a - 9 + b - 3 = 5 <==> a + b = 16 non
u3
s(ab + 12) = 10 (12 = 7+5)
là encore, plusieurs cas de figures:
a + 1 + b + 2 = 10 <==> a + b = 7 oui
b inférieur à 7, a est inférieur à 8
a + 1 + 1 + b - 8 = 10 <==> a + b = 16 non
1 + a - 9 + b + 2 = 10 <==> a + b = 16 non
1 + a - 8 + b - 8 = 10 <==> a + b = 25 non

u3
s(ab + 22) = 11
a + 2 + b + 2 = 11 <==> a + b = 7
b <= 7, a <= 7

u4
s(ab + 33) = 13
a +  3 + b + 3 = 13 <==> a + b = 7
a <= 6, b <= 6

u5
s(ab + 46) = 8
la valeur de la somme diminue, forcément les unités ou les dizaines de remplies, ce qui limite le nombre de cas à étudier.
a + 5 + b - 4 = 8 <==> a + b = 7 oui
a <= 4, b>=4
Sur la liste de nombres possibles, il ne reste plus que 16, 25 et 34...
On voit que l'on peut fortifier la contrainte sur a et b en utilisant a + b = 7
pour l'instant, 1 <= a <= 4 et 4 <= b <= 6
or a <= 7 - b <= 7 - 4 = 3
L'unicité de la solution est équivalente à l'unicité de a et b suivant ces contraintes. En effet, on remarque facilement qu'après utilisation de la contrainte a + b = 7, les valeurs possibles pour a et b sont de même nombre et que l'on peut associer chacune de ses valeurs 2 à 2
(Ici, a peut prendre 1, 2 ou 3 et b peut prendre 4, 5 ou 6, ce qui donne les couples (1,6), (2,5) et (3,4), et les nombre 16 25 et 32.)
Il est ensuite facile de vérifier que chacun de ces nombres vérifie la suite (par construction)

A partir des 5 premières, on ne peut donc pas effectuer plus de déductions.
Le but va être de trouver directement les valeurs qui vont nous donner les plus grosses contraintes sur a et b.
Etablissons le tableau des cumuls et des somme de digits:
0    7
7    5
12    10
22    11
33    13
46    8
54    16
70    14
84    10   
94    11
105    4

On va sélectionner les valeurs de s(un) extrêmes, pour établir les plus grandes contraintes possibles, ici, 4 et 16
(Des valeurs grandes dans les premières valeurs ou petite dans les dernière valeurs pourront aussi avoir beaucoup de poids, même sans être les extrêmes, mais je n'ai pas encore trouvé d'indicateurs permettant de faire le choix le plus efficace)
s(ab + 54 = 16)
a + 5 + b + 4 = 16 <==> a + b = 7
a <= 5
b <= 6 on apprend rien

s(ab + 105 = 4)
1 + a + b + 5 = 4 <==> a + b = -2
1 + a + 1 + b - 5 = 4 <==>  a + b = 7
a <= 8 et b >= 5 donc a <= 2
On passe de 3 à 2 solutions possibles, 16 et 25...

abandonnons un moment la recherche de u1 et revenons à u0:
la seule valeur donnant 16 est 8 non
25 donne 17 qui est la solution.

Bon, c'était assez laborieux, on verra demain pour la deuxième...

Edit: Evidemment, c'est qu'après tout ça que je m'aperçois que la la valeur possible pour a + b ne varie qu'à 9 près. On devrais donc pouvoir peut être trouver une bonne méthode pour trouver les termes qui donnent le plus d'informations...

@ Caduk : en fait, il faudrait synthétiser tout ça, de manière à réduire les recherches. Il y a 1 ou 2 principes à voir pour faire une analyse correcte. Une fois qu'on a compris, le travail devient plus facile, mais n'est pas terminé pour autant.

Ce n'est pas simple du tout.

C'est tout bon Aunryz, bravo à toi !
Je ne doute que, par une méthode ou une autre, informatique ou pas, on arrive au résultat. Maintenant, il s'agit de trouver la méthode manuelle la plus élégante possible.

Salut donc les solutions à l'aide d'excel sont 25 et 148.

J'ai remarqué qu'une somme d'un nombre est un résultat ou le même résultat +9.

Je vais chercher un nombre à 3 chiffres et je reviens.

Je reviens donc avec un nombre à trois chiffres.

En fait on peut jouer à ce jeu indéfiniment.

Voici donc mes s(n) :

16 - 14 - 19 - 20 - 13 - 17 - 16 - 14 - 19 - 20 - 13 - 17 - 16 - 14 - 19 - 20 - 4

nodgim #10 a écrit:

La 1ère suite est décryptable avec les 9 premiers termes.

Je trouve que 8 termes suffisent pour avoir une solution unique à 2 chiffres.

@ Enigmatus: sans doute, je n'ai pas cherché l'optimisation.

@ Gwen : Je savais que tu allais répondre.
Bon équilibre entre tri par analyse de quelques points particuliers et finition par une série d'essais, c'est très efficace !
Pour la suite 2, à un moment tu dis que tu ajoutes 13 à u4, n'est ce plutôt 19 ?

En reprenant ton premier exemple, j'ai trouvé une autre activité.

Quel est le nombre entre 16, 25, 34, 43, 52, 61 et 70 qui en appliquant ta règle, va le plus loin jusqu'à retrouver un même terme qu'une autre suite.

Voici le début :

16    23    28    38    49    62    70                                                   
25    32    37    47    58    71    79    95    109                                           
34    41    46    56    67    80    88    104    109    119    130    134    142    149    163 ..   
43    50    55    65    76    89    106    113    118    128    139    152    160    167    181 ..   
52    59    73    83    94    107    115    122    127    137    148    161    169    185    199 ..   
61    68    82    92    103                                                             
70    77    91    101    103   

En continuant on remarque que c'est 52 qui va le plus loin avec 88 termes allant jusqu'a 620.

En partant des observations suivantes :

- [latex]S[/latex] est [latex]9[/latex]-periodique, [latex]99[/latex]-periodique, [latex]999[/latex]-periodique ... par intervalle.
- On a un incrément de [latex]1[/latex] sur les images de [latex]S[/latex] entre deux périodes consécutives de même type.

On peut établir une stratégie simpliste :

On cherche la période [latex]p[/latex] de [latex]S[/latex] qui à [latex]U_0[/latex] associe [latex]S(U_0)=S_0[/latex].

On montre que [latex]U_n[/latex] est associé à [latex]S_n[/latex] via la période [latex]p+\frac{S_0+\sum_{k=0}^{n-1}S_k-S_n}{9}[/latex] de [latex]S[/latex].

La méthode consiste alors à calculer, pour chaque [latex]S_n[/latex] donné, la période associée puis à écrire les inéquations que cela implique à cause de l'incrément inter-période.

Exemple pour la première suite proposée :

[latex]S_0=7[/latex] est atteint via la période [latex]p[/latex] de [latex]S \Rightarrow 0 \leq p \leq 7[/latex].

[latex]S_1=5[/latex] est atteint via la période [latex]p+1[/latex] de [latex]S \Rightarrow -1 \leq p \leq 4[/latex].

[latex]S_2=10[/latex] est atteint via la période [latex]p+1[/latex] de [latex]S \Rightarrow 0 \leq p \leq 8[/latex].

[latex]S_3=11[/latex] est atteint via la période [latex]p+2[/latex] de [latex]S \Rightarrow 0 \leq p \leq 7[/latex].

[latex]S_4=13[/latex] est atteint via la période [latex]p+3[/latex] de [latex]S \Rightarrow 1 \leq p \leq 6[/latex].

[latex]S_5=8[/latex] est atteint via la période [latex]p+4[/latex] de [latex]S \Rightarrow -4 \leq p \leq 4[/latex].

[latex]S_6=16[/latex] est atteint via la période [latex]p+5[/latex] de [latex]S \Rightarrow 2 \leq p \leq 4[/latex].

[latex]S_7=14[/latex] est atteint via la période [latex]p+7[/latex] de [latex]S \Rightarrow -2 \leq p \leq 2[/latex].

Conclusion : [latex]p=2[/latex] et [latex]7-2=5[/latex] donc [latex]U_0=25[/latex].

"La 1ère suite est décryptable avec les 9 premiers termes. "

à condition de préciser que U0 a deux chiffres (?)
Sinon il doit y avoir d'autres possibilités (?)


(U0 = 124 ; U0 = 10024 ; U0 = 10024 ; U0 = 100024 ...  ? )

Si on se contente de ne regarder que les 15 premiers termes de la suite proposé à Sydre (mais je sais bien que ce n'est pas l'objectif de la question), alors pas moins de six nombres à trois chiffres conviendraient: 542; 632; 641; 731; 740 et 830.

Comme  beaucoup, je cherche aussi une méthode plus générale (sans tableur) pour trouver le terme u0, mais pour l'instant sans succès.

Le premier nombre est 25 et le deuxième 148.

s(0) me permet de déterminer la somme des chiffres. Dans le cas du premier nombre, c'est 7, ce qui laisse 7 possibilités. De plus, s(1)=5<s(0), ce qui montre qu'en passant de u0 à u1, quand on a rajouté 7, une retenue est intervenue : le dernier chiffre est donc >2.

Il ne reste que 16 ; 25 ; 34 ; 43 à tester.

J'ai utilisé la même méthode pour le nombre à 3 chiffres, il y a un peu plus de possibilités, mais la plupart s'éliminent en remarquant que le 2e nombre est 8, donc qu'une retenue est intervenue.

Sinon, on peut remarquer que si u0=v0 mod 9, alors pour tout n, on a un=vn mod 9. Ceci explique que les suites (sn) soient si proches d'un nombre de départ à l'autre.

Pour ceux qui aiment chercher, un 3 chiffres encore (on dira la S4) :
13 8 7 5 10 11 13 8 16.