Bravo w9Lyl6n, bonne réponse !

"Grands" comment exactement ?

Assez marrant comme comportement cette suite. J'ai regardé rapidement sur un tableur :en variant les paramètres on trouve des suites convergentes, des cycliques, peut être des divergentes....

Je vais m'y pencher demain.

J'ai deux idée pour démarrer : la base 5 semble pratique pour appréhender cette suite et on remarque que l'hypothèse de récurrence est adaptée et que de plus, 3124 est dans cette base un nombre très particulier...

A force de voir dans les solution de problèmes d’arithmétique "il suffit de passer en base 2...", je vais m'y mettre, en espérant bien tomber...Car les changements de base quand on n'est pas habitué c'est délicat...

Merci pour le tuyau...j'avais retiré si vite... mais j'ai noté l'indice... ;=)
on va voir demain ce que ca donne...

et bravo pour la praisantation de l'eniygme trai simpa

@enigmatus : bravo ! Effectivement, ta paresse te perdra

Je rajoute une question subsidiaire pour vous occuper un peu plus.

@nodgim : je suis d'accord avec ton premier paragraphe, et le dernier est très bien vu.

Par contre, je ne suis pas d'accord avec le 2e : il faut plus de 18 opérations au total, tu as dû faire une erreur de calcul.

Je vais donner tout de même un exemple complet des opérations pour le nombre 79 (304), dis moi si tu es d'accord:

304

30400000
-.......304=
30344141

303441400000-
-.......3034414=
303433310031

303400000
-.......3034=
303341411

303341400000
-.......3033414=
303333311031

FIN

soit 4 opérations

Bon j'ai trouvé mon erreur et j'arrive à 26 opérations, mais sans garantie. Il y a tellement de chiffres que ce n'est pas évident du tout d'éviter les erreurs, même s'il ne s'agit que d'une soustraction. En fait, il faudrait laisser faire une machine...

Je vois. Tu as choisi un record. En le faisant en semi automatique, je ne suis pas au bout après 140 opérations. Et le nombre grandit, grandit....
Je sais qu'il n'y aura pas de boucle jusqu'à (299*5-299)* 2 environ, dans les 2400 opérations. Et ce serait une sacrée chance si au bout de ces 2400 opérations, on retombe sur le nombre initial ou un nombre intermédiaire.

Maintenant, compte tenu qu'il n'y a pas de boucle pour les petits nombres, que plus un nombre grandit moins on a de chance de trouver une boucle, le nombre grandit infiniment ou retombe à zéro.

Il n'y a pas de solution arithmétique autre que de faire ces opérations pour prouver que ça tombe à zéro. L'algo proposé est équilibré, puisqu'on trouve pour le nombre en base 5 un 4 sur 5 en moyenne, et que quand on tombe sur 4, on ajoute 5 chiffres. Comme pour la suite de Syracuse, c'est l'irrégularité qui domine: une longue chaine de chiffres sans 4 prend le dessus. Mais c'est assez logique: si pour un grand nombre, chaque chiffre est représenté uniformément, la répartition est souvent inégale, ce qui favorise l'atttraction vers le zéro. Il faut noter qu'après 1 opération, mise à part les 5 premiers chiffres, tous les autres sont recalculés. On rebat les cartes à chaque tour.

Bon, je risquais pas d'arriver au bout...
Portugal, tu dis avoir trouvé des suites en boucle, tu confirmes ? Pour quel plus petit nombre ? Combien d'opérations ?

OK Portugal. Dans ce genre de suite, si on a des boucles, on les trouve assez vite dans les petits nombres.

Mon tableur n'a pas pu résoudre, parmi les nombres de 1 à 1000:

104
229
254
479
504
509
514
519
524
529
554
579
604
729
879
954
979

Peut être y a t'il un nombre commun à toutes ces suites montrueuses.

Félicitations à w9Lyl6n et enigmatus qui avaient trouvé, mais aussi à nodgim pour son analyse.

Il s'agit effectivement d'une suite dérivée de Syracuse. Si on change un peu la définition de la suite, en "U(n+1) = E(3124*Un/5) si (1+Un) est divisible par 5, et E(Un/5) sinon", si on suppose que le reste modulo 5 du terme suivant de la suite est un entier aléatoire entre 0 et 4, et si on néglige les arrondis des parties entières, alors à chaque étape, le terme de la suite est multiplié "en moyenne" par (3124/3125)^(1/5) soit environ 0,999936.

Avec la suite de Syracuse, à chaque étape, on multiplie "en moyenne" par racine(3)/2 ~ 0,866 : le retour vers 1 est toujours relativement rapide. Dans cette suite, par contre, le "vent" qui ramène vers 0 est très faible, ce qui fait que le comportement de la suite est proche d'une marche aléatoire sur Z. Or, d'une part, avec une marche aléatoire sur Z, il suffit d'attendre, elle reviendra vers 0 avec une probabilité 1 ; d'autre part, sur des très grandes échelles, le vent se fait sentir : en moyenne, le terme de la suite est divisé par 10 tous les 36000 termes. Donc, en 36 millions d'étapes, le nombre perd 1000 chiffres.

229 était un choix méchant : c'est le premier entier qui demande plus de quelques centaines d'étapes, mais il en demande déjà plus de 200000 pour retomber vers 0. Pour résoudre l'énigme, il faut donc accepter que seul l'ordinateur nous permettra de nous en sortir (sauf révolution des mathématiques), mais, pire, comme l'a noté enigmatus, on passe par des nombres à quasiment 1000 chiffres : il faut un programme capable de manipuler d'aussi grands entiers.

Mais on pouvait faire nettement plus méchant : (10^13-1), que j'ai proposé en question subsidiaire, demande un peu plus de 700 millions d'itérations pour revenir à 0. Le pire nombre que je connaisse, 191769, en demande quasiment 1,5 milliards, et passe par un nombre à plus de 67000 chiffres...

Pour finir, j'aime bien l'équilibre de cette suite : il semble qu'il n'existe pas de cycle autre que le cycle trivial en zéro, et elle converge très lentement ; mais en essayant de faire pire (par exemple, en remplaçant le rôle de 5 par 7 ou 11), on tomberait sur des suites qui convergent tellement lentement que même un ordinateur n'aurait pas le temps de finir le calcul.

Merci Ebichu. Mon tableur ne sait plus diviser correctement au dela de 13 chiffres, d'où le loupé avec des nombres comme 254.

Pour ma part, j'avais jeté un coup d'oeil sur les suites type Syracuse du genre :
(3n+k)/2 avec k impair. Et là on trouve des boucles, mais toujours pour les petits nombres. Au dela d'un seuil (variable) on n'en trouve plus.

Pour espérer avoir un début de réponse avec ce genre de suites, il faudrait déja, à mon avis, pouvoir prouver par exemple qu'un 3^n écrit en binaire comporte à peu près autant de 1 que de 0. Plus basique encore, prouver que la différence entre une puissance de 3 et la puissance de 2 immédiatement supérieure est un nombre distinct pour chaque puissance de 3.

Malgré l'indéniable efficacité des mathématiques, les connaissances sont très faibles par rapport à ce qui est ignoré.