Je ne sais pas quelle est la démo de Cantor mais :

Dans les nombres réels il y a les nombres algébriques, solutions du équation polynomiale de la forme [latex]\sum_{i=0}^n a_iX^i =0[/latex] (1)

L'ensemble des nombres algébrique [latex]\mathbb{A}[/latex] est dénombrable, il peut être mis en relation biunivoque avec [latex]\mathbb{N}[/latex].

Une manière simple de s'en convaincre est de noter que l'ensemble des équations algébriques est dénombrables et que chacune d'elle a un nombre finis de solutions, l'ensemble de ces solutions c'est à dire l'ensemble des nombres algébrique est donc dénombrable.

De manière plus rigoureuse :
A chaque nombre solution équation algébrique, on associe un nombre entier différent, on arrive donc à dénombrer les nombres algébriques. De plus le théorème fondamental de l'arithmétique affirme :

[latex]\forall n \in \mathbb{N}[/latex] n est décomposable en produit de nombres premiers.

Ainsi à chaque racine réelles de (1) on associe un nombre entier composé de la sorte :
[TeX]2^k*{3^{a_0^'}}*{5^{a_0^{''}}*{7^{a_1'}}[/TeX]
[TeX]*{11^{a_1^{''}}}*...*{p_{2n+2}^{a_n^'}}*...[/TeX]
où Pn est le n-ième nombre premier, et [latex]k \in \mathbb{N}[/latex] permettant de couvrir par excès l'ensemble des solutions de (1).
Comme les coefficients [latex]a_0, a_1, ...[/latex] peuvent avoir un signe différent, on pose :
Si [latex]a_n>0[/latex] alors [latex]a_{n'}=a_n[/latex] et [latex]a_{n{''}}=0[/latex]
Si [latex]a_n<0[/latex] alors [latex]a_{n'}=0[/latex] et [latex]a_{n{''}}=-a_n[/latex] ; On affecte ainsi les nombres premiers de rang pair comme 3, 7, 13 ... aux coefs positifs de (1) et 5, 11, 17 ... au coefs négatifs.

Conclusion :
[TeX]\mathbb{R}=\mathbb{A}+\mathbb{\bar{A}}[/TeX]
Or les nombres non-algébriques ne sont pas dénombrables, car non solution d'une équation, donc [latex]\mathbb{R}[/latex] n'est pas dénombrable.

Pour citer M.Boll : "Les nombres algébriques sont comme les étoiles sur le fond du ciel, et l'obscurité épaisse est le firmament des nombres transcendants."

Shadock

PS : Cette démo n'a s'en doute rien avoir avec la diagonale de Cantor, mais c'est une approche différente du caractère indénombrable de R.

Si je suis le raisonnement de L00ping007, je m'aperçois que c'est tout simple, en effet :
Raisonnons par l'absurde en supposant que [0;1] est dénombrable.
Cela signifie qu'à chaque entier naturel positif on peut associer un réel compris en 0 et 1.
Par exemple :

1 correspond à 0,3456459...
2 correspond à 0,4289573...
3 correspond à 0,6742305...
4 correspond à 0,0563972...
5 correspond à 0,4855219...

On forme alors le réel suivant : sa première décimale après 0 est la première du premier (soit 3) à laquelle on ajoute 1, la seconde décimale est la seconde décimale du deuxième (soit 2) à laquelle on ajoute 1, etc...
Dans ce cas on obtient 0.43543... on a donc un réels compris entre 0 et 1 dont on est sur qu'il n'est pas dans la liste puisque sa première décimale n'est pas celle du premier, sa seconde décimale n'est pas celle du second..

D'où le résultat de Cantor.

Shadock

N est dénombrable par définition !
Un ensemble dénombrable est un ensemble que tu peux mettre en bijection avec ... N, justement

Je fais comme Cantor avec les entiers:
0001
0002
0003
0004

J'ajoute 1 aux 4 premiers nombres, ça donne 1111
Il n'est pas dans la liste des 4 premiers nombres.
Cet ensemble n'est pas dénombrable

Voila un extrait curieux de Wikipédia sur le dénombrable que je viens de lire:

"En distinguant le premier deux infinis distincts, et en en déduisant de façon simple un résultat mathématique déjà obtenu de façon différente par Joseph Liouville, Cantor donne des arguments[9] pour l'infini complet, qu'aujourd'hui ne songent même plus à discuter la très grande majorité des mathématiciens."

C'est "très grande majorité des mathématiciens" qui laisse songeur. Cela voudrait il dire que la preuve n'est pas complète ?

Non parce que tu créés une liste infini, de nombre compris entre 0 et 1 dont le développement décimal est infini, et avec cette première liste de nombre infini tu ajoutes 1 à chaque décimale dans une diagonale, tu es donc sur et certain que ce nombre même si ta liste est infinie, n'y figure pas.
Si tu répètes cette opération une infinité de fois, sur une infinité de segment 0-1 tu auras une infinité non dénombrable de nombre réel.

Absolument. Le post de Shadock est très clair : le nombre créé ne peut pas appartenir à l'ensemble dénombrable que nous avions au départ, donc la bijection avec l'ensemble N est impossible, donc [0;1] n'est pas dénombrable. Tout contre-argument que tu pourrais trouver sera une erreur de ta part, et montrera que tu te mélanges encore les pinceaux pour rien

MthS-MlndN a écrit:

Absolument. Le post de Shadock est très clair : le nombre créé ne peut pas appartenir à l'ensemble dénombrable que nous avions au départ, donc la bijection avec l'ensemble N est impossible, donc [0;1] n'est pas dénombrable. Tout contre-argument que tu pourrais trouver sera une erreur de ta part, et montrera que tu te mélanges encore les pinceaux pour rien

Ensemble dénombrable mais infini, il faut bien le préciser. Aussi sa lecture ne peut finir.

Bon je vais faire encore plus simple :
On pose pour ta compréhension que l'infini = 3
L'ensemble des entiers naturels devient 0 1 2 3
0 désigne 0.123456...
1 désigne 0.787466...
2 désigne 0.256437...
3 désigne 0.152468...

On a deux diagonale possible soit 0.752... qui devient par ajout de 1 : 0.863...
soit 0.283 qui par ajout de 1 devient 0.394...
Tu vois bien que ces nombres ne font pas parti de la liste. Et bien maintenant tu imagines exactement le même raisonnement avec une liste infinie.

Shadock

Certes, c'est de l'obstination, je ne peux pas le nier...
Je vous donne ci dessous une construction d'une partie dénombrable des nombres réels compris dans l'intervalle [0 , 1[
Les nombres décimaux à 1 chiffre dans l'ordre:
0, 1 à 9
puis les nombres décimaux à 2 chiffres: 0.01 à 0.99
puis à 3 chiffres: 0.001 à 0.999
etc...
J'associe à chacun de ces nombres un entier: sa lecture à l'envers.

Cantor construit son nombre: 0.21111....

Or, il est évident que ce nombre est dans ma liste. non ?

Alors, tu viens de tomber dans le piège que je t'ai involontairement tendu, car j'ai bien précisé que je ne mettais que la partie strictement dénombrable des décimaux, et tu me dis qu'il y a aussi un nombre supplémentaire. Il faudrait savoir si la méthode Cantor contredit aussi l'ensemble N, ce qui contredit aussi donc sa méthode !

Il y a quelque d'absolument extraordinaire dans ta logique. ça décoiffe.