C'est ce qui arrive quand on lit en diagonale...

Ouais, c'est nul, et alors ??? Je commence à l'avoir en travers, ce topic !!!

@nodgim: voici quelque chose à laquelle j'aurais du penser beaucoup plus tôt.

Une branche des mathématiques (ou plutôt une sous-branche) définit de façon rigoureuse "des entiers plus grand que tous les entiers" et autres concepts auxquels tu tiens: elle s'appelle l'analyse non-standard.

Voici un point d'entrée:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard

L'introduction se termine par:
"Cela permet de présenter les principaux résultats de l'analyse sous une forme plus intuitive que celle exposée traditionnellement depuis le XIXe siècle."
ce qui je pense te conviendra bien vu ta recherche d'approche intuitive.

Mais ATTENTION l'utilisation doit être EXTREMEMENT rigoureuse et toute utilisation de ces concepts en dehors de leur champ d'application entrainera quasiment systématiquement des confusions et des contre-sens.

Voici quelques extraits de la page ci-dessus:
"0,000...01 est infiniment petit si le nombre de 0 est un entier infiniment grand. Ce nombre est alors infiniment proche de 0."
"Il existe donc un entier x supérieur à tous les nombres entiers standard. Cet entier sera donc non standard, sinon, il serait supérieur à lui-même. "

J'en arrive même à me demander vu la proximité avec certaines de tes phrases si tu ne connais pas déjà cette page...

Bonne lecture et bonne chance...


PS: Je ne saurais être tenu responsable de la folie que la lecture des pages sur ce sujet pourrait entraîner chez certains lecteurs

Certains ont contesté ici quand j'ai écrit que la démo de Cantor marchait aussi avec les entiers. Peut être n'ai je pas été assez précis.

N étant infini, les entiers peuvent être infiniment grands. Non pas infinis, mais infiniment grands.
Dans le tableau de Cantor, remplacer les réels par des nombres entiers infiniment grands. Précaution: commencer ces entiers par un chiffre significatif, c'est à dire autre que 0. De plus, le 1er nombre de la liste sera différent de 9 (car le +1 du nombre de Cantor donnerait 0). Pour le reste, la démo se vérifie comme pour les réels.

Salut Clydevil,
Je n'avais pas vu ta réponse, j'ai dû regarder d'autres réponses et donc effacer le "gras" du non lu...
Bon, la démarche de Cantor est on ne peut plus triviale, elle ne pose pas problème de compréhension.
Pour les entiers: oui ils sont finis. Mais on peut étendre le tableau autant qu'on veut, on trouvera toujours des entiers suffisamment grands pour le remplir. ça ne fait pas beaucoup de différence entre un tableau infini et un tableau fini mais aussi grand qu'on veut.

Disons que je réfute la démo telle qu'elle est présentée. Elle ne me convainc pas en tant que telle, car elle utilise sans précaution le système décimal. J'ai besoin peut être d'autres arguments axiomatiques.
Une autre approche des nombres réels, bien plus élémentaire: un nombre réel est il une entité toujours identifiable ? Si oui, alors bijection possible avec les entiers. Si non ? là il est évident qu'on est dans un autre monde.

Non, identifiable comme un point sur un segment, par exemple. La plupart des nombres réels ne sont pas calculables.

nodgim a écrit:

Si oui, alors bijection possible avec les entiers.

Cette déduction est fausse. C'est le coeur du problème que tu rencontres.

Les nombre réels sont tous identifiables, au moins comme limite de 2 suites adjacentes de rationnels. C'est d'ailleurs une des façons de les construire (cela s'appelles les coupures).

Cependant ils sont isomorphes non pas aux entiers mais à l'ensemble des parties de N.
Cela peut "s'intuitiver" à partir de cette construction: pour définir chaque réel, il faut 2 suites de rationnels (chacune pouvant elle être mise en bijection avec N).

On a tous une intuition propre de l'infini et chacun s'est forgé une opinion de ce qu'il peut bien se passer lorsqu'on fait telle ou telle experience avec ce concept. Chacun fait ce qu'il veut avec ses idées, mais les problèmes commencent lorsqu'on les confrontent à la logique car bon nombres d'intuitions sur l'infini se heurtent à des contradictions (cf le paradoxe de Zénon).

Les mathématiciens ont depuis longtemps réglé ce pb en posant des définitions. Ainsi, cela choque aucun mathématicien d'entendre qu'il y a "autant" de nombres pairs qu'il y a de nombres entiers, ou encore qu'il y a "plus" de nombres réels que de nombres entiers. Cela ne les choque-t'il plus car les mathématiciens sont une espèce qui né avec les même intuitions de l'infini ? Bien évidemment que non, ils ont simplement accepté le fait que les mots n'ont que le sens qu'on leur donne et rien de plus et se sont entendu sur la définition du cardinal d'un ensemble.

Bref, je veux dire par là que j'ai bien l'impression que tu vois les choses par le mauvais bout de la lorgnette Nodgim. Ce n'est pas d'après ses intuitions qu'on cerne un concept : c'est en épuisant sa définition par quantité d'exemples et contre-exemples qu'on se forge une intuition.

A noter que se forger une intuition à partir d'une définition est facile à dire mais difficile à faire, puisqu'on ne peut pas s'empecher d'avoir une idée plus ou moins précise du concept en question (c'est vrai pour l'infini mais pour tout type de concept mathématique). Et pour cela il est difficile de savoir par soi-même si on maitrise ou pas une notion. Il y a au moins une règle simple : si qq chose choque notre intuition ou se heurte à une contradiction, un problème de logique ou reste sans réponse, c'est que que cette notion n'est pas clairement assimilée.

Aucun argument ne pourra te convaincre si tu restes dans tes intuitions, car encore une fois, on ne se base pas sur des intuitions pour construire un raisonnement. Je t'invites à lire des exemples (beaucoup !) argumentés à partir des definitions (définition d'une bijection, de la dénombrabilité, du cardinal d'un ensemble...) et tu te forgeras alors une intuition, non pas du "vrai infini", mais du fait que le cardinal de R est supérieur au cardinal de N (entre autre).

J'en prends bonne note.

Où est le paradoxe ?

C'est le principe de l'hôtel avec un nombre infini de chambres, toutes numérotées:
Cet hôtel prestigieux est complet, seulement un VIP arrive, que faire?
He bien c'est simple on demande à chaque personne dans l'hôtel de passer de la chambre N a la chambre N+1 et ainsi sa libère la chambre numéro 1.
Manque de pot une infinité de VIP arrivent ensuite, que faire?
He bien aucun probleme, on demande à chaque personne de passer de la chambre N à la chambre 2N et sa libère un nombre infini de chambres, celles de numéro impair.

Memento a écrit:

Où est le paradoxe ?

Un paradoxe, d'après l'étymologie (du grec paradoxos, « παράδοξος » : « contraire à l'opinion commune », de para : « contre », et doxa : « opinion »), désigne une idée ou une proposition à première vue surprenante ou choquante, c'est-à-dire allant contre le sens commun.

Voilà

SHTF47 a écrit:

Puisqu'on crée une bijection de N sur N, qui associe (par exemple) à tout n son carré n², alors il n'y a pas de question à se poser... Le "paradoxe" vient du fait que tu utilises le mot "partie" dans ta remarque. Seulement, il s'agit ici d'un ensemble dont le nombre d'éléments est infini... la notion de partie dont le cardinal est forcément inférieur ou égal au cardinal de l'ensemble de départ perd son sens, justement parce que tu as trouvé une bijection de l'ensemble sur cette partie.

Désignons [latex]\mathbb{A}[/latex] l'ensemble des carrés parfaits.
Je ne comprends pas trop car si le nombre d'élément de [latex]\mathbb{A}[/latex] dépends de ceux de [latex]\mathbb{N}[/latex] comme [latex]f(n)=n^2[/latex] et [latex]\mathbb{A}\subset \mathbb{N}[/latex] alors là est le paradoxe ? En tout cas moi je trouve que s'en est un.

Shadock

ThomasLRG:
En fait ça dépend ! Si c'est une infinité dénombrable on peux les caser dans les chambres paires et les anciens résidents dans les chambres impaires. Mais si il arrive une infinité indénombrable de personnes, on ne pourra rien y faire, ils ne rentreront pas tous dans l'hotel !

Oui ,  ils seront pas contents lorsque je leur dirais que l'hôtel est vide mais qu'il n'y a pas la place.