À [latex] \usepackage{cancel} \cancel{( \frac{5}{k \pi} +10)}[/latex] km du pôle Sud (avec [latex]k[/latex] entier positif).

Edit : Bon OK, j'ai donné la solution pour 10 km au lieu d'1...

Je reprends :
À [latex](\frac{1}{2 k \pi} + 1)[/latex] km du pôle Sud !

@clementmarmet : S'il était au pôle Sud, il ne pourrait pas commencer par marcher 1 km vers le Sud !

@FRiZMOUT : Y a l'idée.

Sur l'Equateur ?

Il est en Antartique, à 1km au nord de la latitude dont la circonférence fait 1km.
Ainsi, après avoir rejoint cette latitude en faisant 1m au sud, il fait le "tour du monde" vers l'ouest et revient vers le nord à son point de départ...

Il marche 1 km vers le sud, puis arrive pile sur un tapis roulant qui va vers l'est à la vitesse d'un homme qui marche. Du coup il fait du sur place. Enfin il retourne à son point de départ.

C'est dans la même veine que la pièce dans la bouteille de champagne : Il suffit de rajouter un élément omis dans l'énoncé mais qui nous arrange. ^^

Edit : Je n'ai pas répondu à la question :

Du coup, il peut être n'importe où sur terre à plus d'1 km du pôle sud, et pas non plus pile au pôle nord.

Je l'ai lue il n'y a pas bien longtemps dans un bouquin.
J'essaie de le retrouver....

Il arrive pile poil sur le bord nord d'un manège qui tourne dans le sens des aiguilles d'une montre ...  Autrement dit, il marche sur place vers l'ouest

Ou bien il se rend à son cours de fitness...

au pôle sud

On peut envisager à mon avis 2 types de solutions :

- le chasseur a marché 3 fois un km sur un tapis roulant, en orientant successivement sa machine au sud, à l'ouest, puis au nord .

- on considère la position du chasseur non pas dans un repère galiléen lié à la terre, mais dans un repère galiléen lié au centre de gravité de la terre et au étoiles.

En supposant qu'il marche à une vitesse donnée (par exemple, 6 km/h, soit pendant une demi heure), il existe un rayon de giration (7,64 km), donc une latitude (89,931 dg), où il sera revenu effectivement au même point. Cela n'est possible que parce qu'il a marché vers l'ouest et non vers l'est. Il n'a jamais été au pôle nord, mais il n'en était pas très loin !

ben je dirais bien n'importe où sur terre

Ce chasseur est un copain du petit prince. Il habite une toute petite planète de 4 km de circonférence qui lui permet d'accomplir cet exploit.

@SHTF7 : Ce n'est pas sur l'équateur. Le chasseur revient exactement à son point de départ.

@golgot59, Jackv, elpafio et gwen27 : Il n'y a pas d'histoire de tapis roulant. Il se déplace vraiment d'un km vers l'Ouest.

@godisdead, nodgim et Anno-nym : notre chasseur est bien sur la planète Terre.

@Awena et Vasimolo : Ce n'est pas le pôle Sud. S'il y était, il ne pourrait marcher vers le Sud !

@Jackv : Il n'y a pas de changement de repère. Le repère est terrestre.

@emmaenne : ça ne marche pas partout sur Terre...

@JJohn : un chasseur sur un cylindre infini ? Mais oui bien sûr...

@Azdod, racine, dylasse : Oui bonne réponse, bravo. Il y a également d'autres possibilités. Saurez-vous les trouver ?

@Mathias : Oui c'est ça. Mis à part la distance erronée.

@tim17130 : C'est la bonne idée. Cependant ton calcul est erroné.