Je généralise un peu : Il peut se trouver sur n'importe quel point dont 1 km au sud va te mettre sur une latitude dont le périmètre est un Diviseur de 1 Km (1 km, 500 m, 333,33..m , 250 m ... etc) Ainsi avec 1 km vers l'ouest on effectuera n tours entières et on revient à notre position avant de terminer avec un 1 km vers le nord.

il décrit un triangle autour du pôle nord

Effectivement, il n'était pas au pôle sud, mais il en était tout près , à 1159 m !
Il marche un km vers le sud et se retrouve à 159 m du pôle.
Là il marche vers l'ouest et fait un tour complet du pôle, soit un km.
Puis il revient bien à son point de départ, un km plus au nord. Joli .

Mais j'aime bien aussi l'idée de repère galiléen lié aux étoiles .

@Jackv : Bravo c'est ça.

@FRIZMOUT : Oui c'est mieux là. Bravo.

Petite remarque : je ne demandais pas forcément de faire un calcul, mais puisque tu l'as fait, je te signale quand même que les bonnes réponses ne sont pas exactement celles que tu donnes. Là tu confonds la corde et l'arc, ce qui reste une bonne approximation dans notre cas, mais qui ne donne pas les bonnes réponses pour des valeurs exactes. Tu me diras, de toutes façons la Terre n'est pas une sphère... 

@gwen27 : devant tant d'ingéniosité, je ne puis qu'accepter ta réponse !

@racine, Azdod et dylasse : C'est bon, vous avez trouvé toutes les solutions possibles.

Il se dirige vers le Pole Sud. Quand il a fait 1 km, il se trouve à une distance telle du Pole que le tour centré Pole fait exactement 1 km. Donc, après 1 km à l'Ouest, il revient au départ de la seconde étape. Et évidemment, en remontant vers le Nord, il marche dans la même trace, mais à l'envers, que sa marche vers le Sud.

Il est au pôle nord magnétique ! Endroit différent du pôle nord géographique, et comme il est malin il utilise une boussole. Donc ceci explique cela :p

@emmaenne : si tu pars de chez toi, tu fais 1 km vers le Sud, 1 km vers l'Ouest puis 1 km vers le Nord, en gros tu vas te retrouver à 1 km à l'Ouest de chez toi. Tu vois bien que tu n'es pas revenue à ton point de départ. La résolution du problème n'est pas du tout mathématique. Il n'y a aucun calcul à faire.

Bonnes réponses de philippe83, nodgim, gwen27 et golgot59.
Bravo à tous.

Le calcul est faux car tu prends (comme moi) le rayon du parallèle de 1km de périmètre au lieu de prendre la longueur de l'arc entre le pôle et ce parallèle !
Cf un peu plus haut la remarque de titoufred.

Si je ne me trompe pas, la solution est plutôt du style :
[TeX]\frac{R_T}{2}\cos^{-1}(1-\frac{1}{2(k \pi R_T)^2})+1[/TeX]

FRiZMOUT a écrit:

Le calcul est faux car tu prends (comme moi) le rayon du parallèle de 1km de périmètre au lieu de prendre la longueur de l'arc entre le pôle et ce parallèle !

OK, je m'incline devant la science.... Merci de ton explication pleine de bon sens.

Toutefois (je suis un "peu" tétu", je le sais) comme le fait remarque Franky, à 1km, et sachant que la terre est aplatie aux pôles, je pense que l'erreur est faible.

De plus, partant du principe que la terre est plate aux pôles, est-ce que la formule de Frizmout n'est "plus" fausse que le fait de prendre le rayon d'un cercle?

Mais bon, je ne suis pas mathématicien et vous laisse "lâchement" résoudre ce problème de (géo)mathématiques...

A 1km d un parallèle qui fait 1km près du pôle Sud
Mais aussi à  1 km de tout les parallèles qui font x fois 1km : 0.5 km... 0.333km 0.25 etc...
Lorsqu il fait 100 tours le parallèle fait 10m